芻議分段函數在分段點處的導數

靳 強，郭玉瓊(十堰市柳林中學，湖北 十堰 442000)

芻議分段函數在分段點處的導數

靳 強，郭玉瓊(十堰市柳林中學，湖北 十堰 442000)

在討論分段函數在分段點處的導數時，初學者往往容易對分段點2邊的函數表達式利用導數的基本公式和運算法則求導，然后分別取極限來判定。分析了利用導數的基本公式討論分段函數在分段點處的導數中存在的問題，并給出了該方法可行性的特定條件。

分段函數；分段點；導數；連續

對于求分段函數在分段點處的導數及判定導數存在與否，常用的方法有如下2種：該點不連續則該點必不可導；利用導數的定義來判定左右導數是否存在相等。

對于微積分的初學者來說，求函數導數最簡便方法是利用導數的基本公式和運算法則，故出現很多初學者對于求分段點處的導數不采用導數定義來討論的情況，而是直接利用導數的基本公式和運算法則求導，然后再取極限或直接代入。由于分段函數本身具有的特性不一樣，有時候該種方法求分段點處導數是可行的，有時候則不然，這讓很多初學者產生了很大的困惑。為此，筆者通過實例對該類問題進行了分析說明，并給出了該方法的可行性特定條件。

1 實例分析

解法1因為：

解法2因為：

巧合的是這2種解法的結果又是完全正確的，這是偶然還是必然？如果是必然，那理論依據是什么？

2 用導數的基本公式討論分段函數在分段點處的導數可行性的條件

該導數的極限定理同樣也適合求分段函數的導數。

定理2的證明和定理1基本類似，這里就不加詳述。有了定理2的理論支撐，那么例1中解法2的正確性就不是偶然的。但也要注意對于定理2的使用的條件，不然也會出現紕漏。

對例1稍加修改得到下述例題：

解因為：

但利用導數的定義求解：

一個題2種解法得出2個不同的答案，似乎都對，真正的問題出在哪里？

3 結 語

綜合上面的討論，實際上對于分段函數在分段點處導數是否存在的問題，用導數的定義來求解是最廣泛適用的方法。上述的2個定理也為初學者提供了一種新思路，更重要的是找到了容易產生混淆和困惑的地方。

[1]華東師范大學數學系.數學分析(上)[M].北京：高等教育出版社, 2003.

[2] 彭娟,郭夕敬.分段函數在分段點處的導數[J].高等數學研究, 2009, 12(5):19-21.

[編輯] 洪云飛

O172.1

A

1673-1409(2012)05-N011-02

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.05.005

2012-02-25

靳強(1977-)，男，2001年大學畢業，中學高級教師，現主要從事數學理論方面的教學與研究工作。