關(guān)于退化擬正則映射的加權(quán)不等式

劉倩倩，高紅亞，展正然

(1.河北大學(xué) 工商學(xué)院，河北 保定 071000;2.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 河北 保定 071000;3.中國地質(zhì)大學(xué) 長城學(xué)院，河北 保定 071000)

關(guān)于退化擬正則映射的加權(quán)不等式

劉倩倩1，高紅亞2，展正然3

(1.河北大學(xué) 工商學(xué)院，河北 保定 071000;2.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 河北 保定 071000;3.中國地質(zhì)大學(xué) 長城學(xué)院，河北 保定 071000)

為了研究退化擬正則映射的性質(zhì)，將擬正則映射的加權(quán)Poincaré型不等式進(jìn)行了推廣.首先給出當(dāng)權(quán)重為擬正則映射時(shí)的Poincaré型不等式和退化擬正則映射的概念，然后證明了當(dāng)權(quán)重為退化擬正則映射時(shí)Poincaré型不等式仍然成立.

退化Jacobian行列式; 退化擬正則映射;Poincaré型不等式

近年來，許多學(xué)者在退化橢圓方程的基礎(chǔ)上，建立了加權(quán)Poincaré型不等式.文獻(xiàn)[1]證明了下面2 個不等式是等價(jià)的：

(1)

(2)

其中，1lt;plt;∞，ω(x)和v(x)-1/(p-1)是定義在A∞上的加權(quán)函數(shù).文獻(xiàn)[2]證明了在不等式(1)中，權(quán)ω和v不一定是定義在A∞上的函數(shù)，并證明了如果f∈W1,n(Ω,Rn)∩L∞是擬正則映射，令ω(x)=J(x,f),v(x)=J(x,f)1-(p/n)，1lt;plt;n，那么不等式(1)成立.本文是建立在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，證明了如果f∈W1,l(Ω,Rn)∩L∞是退化擬正則映射，令ω(x)=Jl(x,f)，v(x)=Jl(x,f)1-(p/l)，1lt;plt;l，那么同樣有不等式(1)成立.

1 定義

退化擬正則映射的概念和性質(zhì)被許多學(xué)者廣泛研究[3-8]，退化擬正則映射的定義如下.

2)

|Df(x)|l≤KJl(x,f), a.e.Ω.

(3)

其中|Df(x)|是矩陣范數(shù)，|Df(x)|=sup|ξ|=1|Df(x)ξ|.

定義2 對于每一個方體Q及Q的任意一個可測子集E, 如果存在常數(shù)c,δgt; 0, 使得

成立，則稱權(quán)ω(x)屬于A∞類.

2 Poincaré型不等式

(4)

其中，c∈Rn是一個常向量.

證明

因?yàn)棣赵讦傅倪吔鐬?, 得

(5)

對于退化的擬正則映射f(x),由式(3)不難得|Df(x)|l-1≤K1-(1/l)Jl(x,f)1-(1/l)，令M=‖f‖∞，從式(5)中，得

所以

其中c=c(l,K,‖f‖∞).

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(責(zé)任編輯：王蘭英)

Weighedpoincaréinequalitiesassociatedwithdegeneratequasiregularmappings

LIUQian-qian1，GAOHong-ya2,ZHANZheng-ran3

(1.Industrial and Commercial Collge, Hebei University, Baoding 071000, China； 2.College of Mathematics and Computer Science, Hebei University, Baoding 071002,China； 3.Great Wall College, China University of Geosciences, Baoding 071000,China)

In order to study the properties of degenerate quasiregular mappings, a weighed Poincaré type inequalities associated with quasiregular mappings is generalized.First the article gives the Poincaré type inequalities which weight is a quasiregular mapping and the definition of degenerate quasiregular mappings, then proves that the Poincaré type inequalities is still right when the weight is degenerate quasiregular mappings.

degenerate Jacobian; degenerate quasiregular mappings; Poincaré type inequality

O186.15

A

1000-1565(2012)01-0017-03

2010-11-28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971224) .

劉倩倩(1983-), 女，河北淶源人，河北大學(xué)助教，主要從事復(fù)分析和偏微分方程方向研究.

E-mail:lqq1688@163.com

高紅亞(1969-), 男，河北順平人，河北大學(xué)教授，主要從事復(fù)分析和偏微分方程方向研究.

E-mail:hongya-gao@sohu.com

MSC2010: 53C43