橢球膨脹法在區域控制網投影計算中的應用

李陸勛

(國家林業局昆明勘察設計院，云南昆明650216)

橢球膨脹法在區域控制網投影計算中的應用

李陸勛

(國家林業局昆明勘察設計院，云南昆明650216)

對基于橢球膨脹法的區域控制網投影計算進行研究，并對橢球長半軸變量Δa的計算和取值、膨脹橢球對大地經度、緯度、大地高的影響等進行分析。基于對Δa、dB的取值和影響分析，提出簡化計算方法，并進行計算驗證。研究成果對高海拔地區應用橢球膨脹法建立區域控制網具有參考價值。

橢球膨脹;區域控制網;投影計算

一、引 言

應用GPS建立工程控制網、城市相對獨立坐標系等區域控制網時，需將橢球面上的大地坐標經高斯投影轉換為平面坐標。低海拔地區可以直接采用標準橢球面作為計算基準面，而高海拔地區若直接采用標準橢球面作為計算基準面，則會使地面長度的投影變形較大，地面實測距離與控制點坐標反算的距離差異較大，難以滿足實際或工程上的需要，計算和使用都不方便。為減小邊長投影變形，通常采用兩種方法:一種是以測區的平均高程面(或抵償高程面、測區最低高程面)作為邊長投影計算基準面;另一種是采用變換橢球法。變換橢球法可以在標準橢球和區域橢球間建立嚴密的數學關系，更適合于采用GPS測量建立區域控制網。常用的變換橢球法有膨脹法、平移法、變形法。其中，膨脹法計算簡便，可以較好地解決高海拔地區建立區域控制網的高程投影問題［1-2］。

二、橢球膨脹法原理

如圖1所示，E0為原標準橢球面，P0為地面上的基準點，E0沿P0的法線方向膨脹Δh到定義的參考面Ph(測區平均高程面或最低高程面)，Δh為圖中J1到J2點的距離，即在E0橢球下沿P0的法線方向穿過參考面Ph的距離。膨脹前后，橢球中心保持不動，橢球扁率α保持不變，橢球長半軸變化Δa= aE1－aE0。由于橢球面具有各向異性，所以橢球膨脹后原法線P0→J1在E1下不一定再與橢球面E1垂直。

已知廣義大地坐標微分公式

式中，A、B、C、D的計算參見文獻［3］。

圖1 橢球膨脹法

由橢球膨脹法可知

則

即膨脹法對大地經度L沒有影響，只對緯度B和大地高H有影響。在新橢球E1下，可以重新計算新的(B，L，H)E1，以新橢球的參數作高斯投影，計算新的(x，y)E1。

三、橢球膨脹法投影計算思路

已知區域控制網各控制點在標準橢球中的經緯度以及控制網平均高程面Hm，將標準橢球面高程視為0 m，可得Δh=Hm，利用式(1)計算得Δa，進而計算區域橢球的各項參數，建立區域橢球，應用式(7)計算各點在區域橢球中的經緯度，在區域橢球下作高斯投影計算，即得到各控制點在平均高程面Hm上的坐標。為簡化計算，實際計算時取Δa=Hm。

該方法的實質是利用膨脹橢球、高斯投影，將點坐標投影至需要的高程面，并在兩個高程面之間建立嚴密的數學關系，可以方便地進行正反算，使得區域控制網的獨立坐標與國家大地坐標之間可以互相換算，省去了邊長投影計算過程，同時便于區域內不同獨立坐標系間的轉換。

四、Δh、Δa取值分析

用橢球膨脹法建立區域橢球時，橢球長半軸變量Δa通常由式(1)和測區平均緯度嚴密計算得到。

如圖2所示，根據橢球膨脹法原理可知，Δh是測區在標準橢球上的平均大地高，而測區平均高程面采用的是正常高，兩者差值為高程異常值ξ。如果已知測區范圍內的高程異常值ξ，則可精確計算得橢球面高差Δh，但我國目前的似大地水準面模型分辨率和精度分布不均，西部高海拔地區還存在大量的數據空白地區，西部精確的高程異常值ξ難以獲得;另外，我國1954北京坐標系對應的參考橢球高程異常平均為29 m，1980西安坐標系對應的參考橢球高程異常平均為10 m［9］。當ξ=29 m時，其對區域橢球高斯投影坐標的影響主要反映在北坐標x上，從邊長投影角度看，該值對邊長投影的影響約為1/220000，而區域控制網覆蓋范圍較小，測區內ξ值差異不大，即ξ值對區域控制網邊長投影計算的誤差影響可以忽略，計算時，Δh一般可取為測區平均高程面。

圖2 橢球膨脹法簡化應用示意

以克氏橢球為例，由式(1)計算得到的Δa與Δh的差值隨緯度、平均高程面的增加而增加。當B =0°時，Δa－Δh=0;當B=90°時，Δa－Δh達到最大，其對應關系如表1所示。

表1 克氏橢球不同緯度、高程情況下Δh、Δa的對應關系

由表1可看出，極端情況下，當B=90°，Δh= 5000 m時，Δh與Δa的差值最大，為16.818 m。一般Δh與Δa的差值在10 m以內，該差值對邊長投影計算的影響約為1/630 000，可以忽略，因此在實際應用時可取Δa=Δh，以簡化計算過程。

五、dB影響分析

應用橢球膨脹法建立區域橢球，dB的變化趨勢是當B=0°和B=90°時，dB=0;當B=45°時，dB達到最大，如表2所示。

區域控制網覆蓋范圍較小，公路、鐵路等線路工程在南北向布設時，其緯度跨度才比較大，我國的高原主要集中于北緯20°～40°，表3列出了B= 40°、B=41°，Δa=2000 m時的dB值及其差值。

表2 B=45°時的各高程dB值(克氏橢球)

表3 B=40°、B=41°、Δa=2000 m時的dB值及差值(克氏橢球)

從表3可看出，測區緯度跨度1°時，dB差值約為0.001 161 700 57″，相當于地面距離0.034 85 m，已知地球橢球緯度跨度 1°時，地面距離約為111 km，dB差值對距離的影響約為1/3 180 000。盡管dB絕對值較大，對坐標絕對值的影響達到米級，但其相對差值較小，可以忽略。因此，區域控制網在應用膨脹橢球法進行高斯投影計算時，可以不考慮dB的影響，

六、計算驗證

基于上述分析，取有代表性的任意兩個點對橢球膨脹法簡化計算進行驗證。已知 P1(40°N，99°E)、P2(41°N，99°E)兩點，中央子午線99°，平均高程面Hm=2000 m，不考慮高程異常值，按兩種方法進行投影計算:方法一為Δh=Hm，用式(1)和兩點的平均緯度計算Δa，考慮dB的影響;方法二采用簡化計算，即Δa=Hm，不考慮dB的影響。計算結果如表4所示。

表4 橢球膨脹法簡化計算驗證(克氏橢球)

上述兩種方法計算得到的P1點x相差9.6441 m，P2點 x相差 9.757 1 m，方位角一致，距離相差0.113 m，距離相對誤差為1/980 000。考慮dB時點位往北移。采用簡化算法時，控制網整體往南移，但不影響點位坐標精度和相對關系。

七、結束語

橢球膨脹法原理建立在廣義大地坐標微分公式基礎上，具有嚴密的數學基礎。應用橢球膨脹法建立區域控制網，可以較好地解決高海拔地區建立區域控制網的高程投影問題，使區域控制網坐標系與國家大地坐標系之間建立起嚴密的數學關系，便于不同坐標系間的相互轉換。對于區域控制網，可以使用簡化的橢球膨脹法進行投影計算，即計算時取(B，L)E0=(B，L)E1，Δa=Hm。

［1］ 李世安，劉經南，施闖.應用GPS建立區域獨立坐標系中橢球變換的研究［J］.武漢大學學報:信息科學版，2005，30(10):888-891.

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［3］ 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎［M］.武漢:武漢大學出版社，2002.

［4］ 孔祥元，郭際明.控制測量學［M］.3版.武漢:武漢大學出版社，2010.

［5］ 程鵬飛，成英燕，文漢江，等.2000國家大地坐標系實用寶典［M］.北京:測繪出版社，2008.

［6］ 丁士俊，暢開螄，高瑣義.獨立網橢球變換與坐標轉換的研究［J］.測繪通報，2008(8):4-6.

［7］ 海清.通過橢球變換建立區域獨立坐標系的方法［J］.測繪與空間地理信息，2008，31(1):168-169.

［8］ 鄧興升，湯仲安，花向紅，等.橢球變換后的高斯投影正反算算法［J］.大地測量與地球動力學，2010，30(2):49-52.

［9］ 邊少鋒，柴洪洲，金際航.大地坐標系與大地基準［M］.北京:國防工業出版社，2005，55-57.

［10］ 施一民，周擁軍，張文卿.用定向定位調整法確定區域性橢球面［J］.測繪學報，2002，31(2):118-122.

The Application of Ellipsoid Expansion Method in the Calculation of Region Control Network Projection

LI Luxun

0494-0911(2012)05-0041-03

P221

B

2012-03-27

李陸勛(1971—)，男，白族，云南大理人，碩士，高級工程師，主要從事工程測量、道橋工程的規劃咨詢設計和管理工作。