結合分段三次多項式與Akima法的等高線平滑方法

鄭鳳嬌

（武漢市勘測設計研究院，湖北 武漢430022）

結合分段三次多項式與Akima法的等高線平滑方法

鄭鳳嬌

（武漢市勘測設計研究院，湖北 武漢430022）

實際地形一般是連續變化的。根據數字高程模型（Digital Elevation Model，DEM）自動繪制的等高線由折線段相連而成，需要進一步平滑，以便更準確地描繪出實際地形的分布。結合分段三次多項式與Akima法來對等高線進行平滑處理。實驗證明該方法效率高，結果滿意，達到較好的平滑效果。

等高線平滑；分段三次多項式；Akima

等高線是地面上高程相等的一系列相鄰點所連接成的曲線。它可以表示地貌的基本特征，是地表形態的一種主要表現手段，在地形模擬、道路勘測規劃、水文模型建立、自然資源管理等地學領域存在許多優越性［1］。隨著測繪技術的飛速發展，航測儀器從傳統的模擬型到解析型，再到現階段的全數字攝影測量工作站，同時，等高線的繪制方法也發生了根本性的變化，從手工繪制到半自動繪制，再到全自動繪制［2］。如果能通過計算機繪制出與作業員手工相似的等高線，這樣將會大大縮短制作時間，提高生產效率。

在測繪生產中，如果已經具有數字地面模型DEM，可以根據一定的等高線跟蹤算法進行等高線的自動繪制。等高線跟蹤得到的是一系列分布在格網邊上的離散等高線點，等高線的繪制是由這些離散點依次直線相連而成，這樣形成的等高線在計算機和繪圖儀上看起來不是一條光滑的曲線。為了獲得光滑的等高線，還需要對等高線進行加密插補。

1 等高線跟蹤

數字地面模型DEM是地形表面的計算機表示，DEM有多種表示形式，主要包括規則矩形格網與不規則三角網等。根據數字高程模型內插并排列等高線點的方法有很多，但總的來說可以大體分成2種：①按每條等高線走向順序插點；②整體算求各等高線上的點并分別排列存貯［3］。第一種方法的基本思想是按逐條等高線的走向邊搜索邊插點，在搜索到等高線的起點后動態地依格網判斷等高線走向，直到等高線回到起點或者穿出測區邊界，它是通過判斷等高線與格網或三角網邊的交點來確定等高線的走向；后一種方法的基本思想則是先在整個DEM上搜索內插出全部等高線穿越格網邊或三角網邊交點的坐標，然后按照順序依次將屬于每條等高線的點找出來，并按等高線走向將這些點順序排列并存儲起來。

2 等高線平滑

通過相應的等高線跟蹤算法，得到的是順序排列的等高線點。提取出來的等高線將是一系列分段線性函數。這顯然不符合實際地形的分布特征，因此，需要對它們作進一步的平滑處理。

等高線的平滑需滿足下面幾個要求：

1）曲線應通過已知的等高線點（常稱為節點）；

2）曲線在節點處光滑，即其一階導數（或二階導數）是連續的；

3）相鄰2個節點之間的曲線沒有多余的擺動；

4）同一等高線自身不能相交［4］。

本文結合分段三次多項式與Akima法來對等高線進行平滑處理。

2．1 曲線擬合

2．1．1 分段三次多項式插值定義

分段三次多項式插值的含義是指在每2個數據點之間建立一個三次多項式曲線方程f（x），三次多項式方程表示為

現在假設空間中存在依次用直線相連的n個離散點（xi，yi）（k＝1，2，…，n），x0＜x1＜…＜xn，在任意2個相鄰的數據端點（xi，yi）和（xi＋1，yi＋1）之間擬合出一條三次多項式，且保證在端點處的一階導數連續，即在端點處該三次多項的導數應該等于給定的值，這樣就可以惟一確定三次多項式的各個系數。

根據上述條件可以惟一解得分段三次多項式的系數。分段三次多項式確定后可以按照一定的采樣間隔在相鄰兩節點間進行加密插補。

2．1．2 空間離散點斜率的計算方法

在上一小節中進行求解分段三次多項式系數的時候要求節點函數的導數等于給定的已知值，這樣才能保證整條曲線在各個節點處連續。Akima法是一種通過連續相鄰5個空間離散點計算斜率的方法。假設空間中存在相鄰的5個點，pk（xk，yk）（k＝i－2，i－1，i，i＋1，i＋2），Akima法以點Pi為端點的兩弦斜率的加權平均值，Pi點斜率tanθi的計算公式為

Pl和Pr即為Pi點左弦和右弦的權，它們分別等于Pi點前兩弦斜率差的絕對值與后兩弦斜率差的絕對值。即計算方法為

本文中的實驗采用式（6）計算分母為零時的斜率。

2．1．3 端點處的補點

Akima法計算空間點的斜率分別需要左右相鄰的各2個點，總共5個點，這樣在等高線的起點處和終點處無法計算斜率，需要進行補點。對于閉曲線，補點的方法很簡單，只需要將閉曲線的首尾相連，這樣所有等高線點就是一個閉合的鏈表，如在計算起始點的斜率時，將閉曲線尾部2個點加進來即可。對于開曲線，補點通?？梢园凑障旅娴脑瓌t進行。

通過該方法求得補點的m值后，便可以通過式（3）計算端點處的斜率。

2．2 等高線的加密內插

2．2．1 基本方法介紹

通過上述曲線擬合的方法得到的是一系列的等高線方程，但是它們是解析函數，并不能通過計算機來顯示。因此需要對曲線進行加密內插處理。

等高線內插的一個重要特征是：二維坐標系中，一個X坐標可能對應幾個Y值。所以不能直接按照y＝f（x）的函數直接內插，應該采用曲線方程的參數形式分別對X和Y進行內插。任意平面曲線可以表示成參數為T的函數。

如圖1所示，為將平面曲線表示為2個參數為T的參數方程，表示為參數方程后對應于定義域每一個橫坐標值只會有一個X和Y值，這樣就可以分別對X和Y值進行加密內插。

圖1 平面曲線的參數方程表示

這里以對X為例來說明如何根據參數方程進行加密插補，對2個相鄰等高線點（Xi，Yi），（Xi＋1，Yi＋1）的X擬合一個三次多項式曲線，即

其參數為T，這時參數T表示空間離散點間的折線長度。 設 空 間 中 存 在 6 個 空 間 點 （Xi－2，Yi－2），（Xi－1，Yi－1），（Xi，Yi），（Xi＋1，Yi＋1），（Xi＋2，Yi＋2），（Xi＋3，Yi＋3），它們距離點（Xi，Yi）的折線距離依次為S－2，S－1，S1，S2，S3。令（Xi，Yi）對應的 T 值為0，則X的曲線方程如圖2所示，

圖2 X關于T的參數曲線

等高線在節點處的斜率由Akima方法計算得到，令在（0，Xi），（S1，Xi＋1）處由 Akima法得到的斜率分別為tanθi和tanθi＋1，根據導數在節點處是連續的要求，可以得到

解得相鄰等高線點（Xi，Yi），（Xi＋1，Yi＋1）的關于X參數方程的三次多項式后，以一定的步長ΔT對X值進行加密補點。以同樣的方法依次對相鄰等高線點間的X進行三次多項式擬合后加密插補，最后實現對整條等高線X的加密插補。對Y的加密插補方法同對X 的一樣。X和Y都得到加密后就實現了對等高線的平滑。

2．2．2 插值步長ΔT的選擇

插值步長ΔT如果選擇得太小會使數據點大量重復造成數據冗余，如果選擇得太大又達不到較好的平滑效果。對此，通過如下方法來對區間［Ti，Ti＋1］插值步長ΔT進行確定。曲線的最大逼近誤差由式（18）估算。

對于等高線的參數方程平滑方法，可以用式（１９）分別求出X和Y的ΔTX和ΔTY，取其較小值作為最終的插值步長，d Smax取決于圖形輸出設備的精度。

3 實驗與分析

對某一地區的DEM進行等高線跟蹤進行等高線的自動繪制，得到該地區的自動繪制的等高線全局圖如圖3所示。

圖3 自動繪制的等高線全局圖

圖4是該測區內某局部區域平滑前的等高線，圖5是采用本文方法進行平滑后的等高線，實驗中設定d Smax＝0．02來確定采樣間隔。可以看出，平滑后的等高線看上去光滑連續，具有很好的視覺效果，并且更加接近作業員手工繪制的效果。

4 結束語

各種實驗證明，利用本文提出的結合分段三次多項式與Akima法的等高線平滑方法，繪制出的等高線，很接近由訓練有素的繪圖員人工作業手工繪制的等高線，且方法穩定，效率高，對提高測繪產品的生產質量和生產效率具有十分重要的意義。另外，它不僅適用于繪制地形等高線，同樣也可以用來繪制其他等值線圖，具有極其廣泛的應用前景。

［1］趙建三．基于格網DEM的自適應等高線內插方法［J］．中南工業大學學報：自然科學版，2003，2011（3）：315－319．

［2］荊玉英．地形圖等高線的測繪方法［J］．測繪與空間地理信息，2008（5）：212－213．

［3］李德仁，王樹根，周月琴．攝影測量與遙感概論［M］．北京：測繪出版社，2008．

［4］張劍清，潘勵，王樹根．攝影測量學［M］．武漢：武漢大學出版社，2003．

［3］聶桂根，萬劍華．Akima插值法在測量中的應用［J］．測繪科技動態，1998（3）：31－34．

［4］邵才瑞．井筒數據的Akima插值重采樣方法［J］．測井技術，2004（2）：112－114，179．

［5］唐彥，梁欣．分段三次多項式插值的節點導數研究［J］．黑龍江工程學院學報：自然科學版，2008，22（3）：78－80．

［6］聶欣，李鑫慧，吳良林．基于DEM生成等高線的方法［J］．地理空間信息，2009，7（4）：85－87．

［7］Wilson J P，Gallant J C．Terrain analysis：Principles and applications［M］．UK：John＆Wily＆Sons，2000．

［8］Wood J D，Fisher P F．Assessing interpolation accuracy in elevation models［J］．IEEE Computer Graphics and Applications，1993，13（2）：48－56．

Contour line smooth combined with segmental cubic polynomials with Akima

ZHENG Feng－jiao
（Wuhan Urban Design Survey Research Institute，Wuhan 430022，China）

The actual terrain generally changes continuously．Contour line automatically drawn through Digital Elevation Model（DEM）is formed by connected line segments，and it needs further smooth in order to describe actual terrain distribution more accurately．The paper combines segmental cubic polynomials with Akima method to smooth contour line．The experiment proves that the method has high efficiency and a satisfactory result，and achieves good smoothing effect．

contour line smooth；segmental cubic polynomials；Akima

P208

A

1006－7949（2012）03－0009－04

2011－05－20

精密工程與工業測量國家測繪局重點實驗室開放基金資助項目（PF2009－22）

鄭鳳嬌（1968－），女，高級工程師．

［責任編輯張德福］