五種常規三軸強度準則的比較＊

付義勝

（河南理工大學能源科學與工程學院， 河南焦作市 454010）

五種常規三軸強度準則的比較＊

付義勝

（河南理工大學能源科學與工程學院， 河南焦作市 454010）

基于6種巖石的試驗數據對5種常規三軸強度準則進行擬合。以擬合偏差絕對值之和最小為目標確定強度準則中待定參數，進而比較擬合偏差以及單軸抗壓強度σC和抗拉強度T的預測值與試驗值差異。研究發現：含有3個參數的廣義Hoek－Brown準則、指數強度準則和ROCKER準則預測的單軸抗壓強度與試驗值基本一致；ROCKER

準則預測的單軸抗拉強度與試驗值較接近；廣義Hoek－Brown準則具有較小的擬合偏差，抗拉強度對強度準則的擬合結果沒有明顯影響。

常規三軸強度準則；Mohr－Coulomb強度準則；Hoek－Brown準則；指數強度準則；ROCKER準則

巖石常規三軸強度準則一般寫為：

式中，σ1，σ3分別為最大和最小主應力，以壓應力為正。尤明慶［1－2］、石祥超等［3］比較了幾種強度準則的擬合精度，但并未考慮強度準則對抗拉強度的預測能力。Ghazvinian等［4］研究了有無抗拉強度數據對強度準則預測單軸抗壓強度的影響，但巖石材料與強度準則的選用都比較單一。Carter等［5］研究巖石強度準則時強制擬合曲線通過抗拉強度數據點，導致其擬合曲線明顯偏離多數試驗數據點。本文基于6種巖石的試驗數據對5種常規三軸強度準則進行擬合，以擬合偏差絕對值之和最小為目標確定強度準則中待定參數，比較平均擬合偏差mf以及強度準則所預測的巖石單軸抗壓強度和單軸抗拉強度與試驗值的關系。

1 巖石的幾種常規三軸強度準則

1.1 Mohr－Coulomb強度準則

Mohr－Coulomb強度準則（簡稱M－C準則）是巖體力學中經典強度理論：

式中，τ為剪切力，σn為破壞面上正應力；c和φ分別是巖石材料的粘聚力和內摩擦角。

M－C準則還可以寫為主應力的形式：

式中，m為相關參數；σC為巖石試樣的單軸抗壓強度。m和σC可用粘聚力和內摩擦角表示：

單軸抗拉強度T和擬合曲線在σ3＝0的斜率K0分別由下式計算得出［2］：

Mohr－Coulomb強度準則形式簡潔具體，具有明確的物理背景，廣泛應用于巖體工程的設計和地質構造方面的分析［6］。

1.2 H－B準則及GH－B準則

Hoek－Brown強度準則（簡稱H－B準則）［7］：

式中，σ1，σ3分別為巖體破壞時的最大和最小主應力；m、s為相關參數。完整巖塊，取s＝1。

單軸抗拉強度T和K0分別由下式得出［2］：

后修正為［8］：

式（8）又稱為廣義Hoek－Brown強度準則（簡稱GH－B）。完整巖塊，取s＝1，式（8）可化簡為：

單軸抗拉強度T和K0為［2］：

1.3 指數強度準則

M.You［9］構造出含有3個巖石材料參數的指數強度準則（簡稱EXP準則）：

式中，Q∞為極限主應力差；σC為巖石試樣的單軸抗壓強度；m為相關參數。

將σ1＝0，σ3＝－T代入上式可求得抗拉強度，而K0可由下式得出［2］：

1.4 ROCKER強度準則

ROCKER強度準則（簡稱Rock準則）是由B.J.Carter等［5］提出的，其表達式為：

式中，T為巖石的單軸抗拉強度，為正值；σC為巖石的單軸抗壓強度；指數m取值范圍為0.3～1。

K0可由下式得出：

2 試驗數據及擬合方式

用于評價強度準則的巖石的試驗數據從文獻中引用。Tyndall石灰巖（TL）和Lac du Bonnet花崗巖（LG）的試驗數據引自于文獻［5］；Mesaverde第3組頁巖垂直層理（S⊥）和平行層理（S∥）、第5組砂巖垂直層理（SS⊥）和平行層理（SS∥）的試驗數據引自文獻［10］。同一圍壓下有兩組試驗數據時擬合中取平均值。巖石試驗數據的特征見表1。由于巖石的巴西劈裂強度與單軸拉伸強度都有較大離散性，兩者平均值大致相當［11］，故下面不做區分。

本文采用偏差絕對值之和達到最小而不是常用的最小二乘法來確定擬合參數，擬合曲線能靠近大量的正常試驗點，并使異常點具有較大的偏差［1－2］。

表1 巖石試驗數據的特征

3 強度準則的比較與分析

3.1 Tyndall石灰巖

含3個參數的GH－B準則、EXP準則和ROCK準則對Tyndall石灰巖單軸抗壓強度的預測值與試驗值均為52MPa，但含2個參數的M－C準則和HB準則的預測結果分別比試驗值偏高近40.4%和14.4%（見表2）。ROCK準則對單軸抗拉強度的預測值為3.5MPa，接近于試驗值3.8MPa，其他4種強度準則的預測結果與試驗值互有高低，差異較大。有抗拉強度和無抗拉強度數據參與擬合對強度準則預測單軸抗壓強度和抗壓強度的影響很小。M－C準則的平均擬合偏差mf最大，GH－B準則的相對最小。

表2 Tyndall石灰巖的擬合結果

圖1為Tyndall石灰巖無抗拉強度數據的強度準則擬合曲線，因有抗拉強度數據的擬合曲線與其差別不大，故下面均不再給出。直線型的M－C準則在低圍壓區域內，擬合曲線偏離單軸抗壓強度和抗拉強度的試驗數據點。GH－B準則的K0值相對最大，其對單軸抗拉強度的預測值比試驗值顯著偏低。ROCK準則的擬合曲線通過大多數試驗數據點，擬合效果較理想。

圖1 Tyndall石灰巖的強度準則擬合曲線

3.2 Lac du Bonnet花崗巖

M－C準則對Lac du Bonnet花崗巖單軸抗壓強度的預測值比試驗值偏高近17.8%，其他4種強度準則的預測值與試驗值226MPa基本一致（見表3）。EXP準則對單軸抗拉強度的預測值為11.8 MPa，較接近試驗值13.0MPa，M－C準則的預測結果是試驗值的近2倍，其他3種準則的預測值僅是試驗值的一半甚至更低。M－C準則的平均擬合偏差mf依然最大，GH－B準則和ROCK準則的相近。有抗拉強度和無抗拉強度數據參與擬合對擬合的結果影響很小，甚至沒有影響，如M－C準則和H－B準則。

表3 Lac du Bonnet花崗巖的擬合結果

從圖2中可看出，M－C準則的擬合曲線依然偏離單軸抗壓強度和抗拉強度的數據點。H－B準則、GH－B準則和ROCK準則的K0值接近，其擬合曲線基本重合。EXP準則的擬合曲線較接近抗拉強度數據點，也大致通過其他試驗數據點，整體擬合效果較好。

圖2 Lac du Bonnet花崗巖的強度準則擬合曲線

3.3 Mesaverde頁巖

Mesaverde頁巖有抗拉強度和無抗拉強度數據對擬合結果影響很小，這與以上Tyndall石灰巖和Lac du Bonnet花崗巖的情形類似，故下面不再給出有抗拉強度數據的擬合結果。

GH－B準則、EXP準則和Rock準則對Mesaverde頁巖單軸抗壓強度的預測值與試驗值基本一致。H－B準則對S⊥單軸抗壓強度的預測值與試驗值一致，其對S∥的預測值比試驗值偏高5.9%。這5種強度準則對S⊥單軸抗拉強度的預測值與試驗值差異較大，ROCK準則的平均擬合偏差最小（見表4、表5）。GH－B準則對S∥單軸抗拉強度的預測結果為17.6MPa，接近于試驗值18.6MPa，其平均擬合偏差mf最小。

表4 Mesaverde頁巖垂直層理的擬合結果

表5 Mesaverde頁巖平行層理的擬合結果

5種強度準則的擬合曲線均偏離抗拉強度的數據點（見圖3、圖4）。ROCK準則的擬合曲線通過S⊥大多數試驗數據點，而GH－B準則擬合曲線通過S∥大多數試驗數據點。

圖3 砂巖垂直層理的強度準則擬合曲線

圖4 砂巖平行層理的強度準則擬合曲線

3.4 Mesaverde砂巖

EXP準則對Mesaverde砂巖垂直層理和平行層里的試驗數據擬合時，預測的單軸抗壓強度分別是150.6MPa和174.6MPa，比試驗值82.0MPa和99.0MPa分別偏高83.7%和76.4%；預測的單軸抗拉強度分別為28.66MPa和18.47MPa，是試驗值10.01MPa和13.55MPa的近3倍，這顯然是不合理的。

基于SS⊥和SS∥的試驗數據，直接設定EXP準則單軸抗壓強度的預測值為試驗值，對其分別又進行一次擬合，擬合結果見表6和表7中＊EXP所示。此時，EXP準則的平均擬合偏差稍有增加，其預測的單軸抗拉強度分別為12.68，18.47MPa，雖比試驗值偏高，但相對于另外4種強度準則更接近真實值。

如圖5，設定SS⊥的單軸抗壓強度為試驗值后，＊EXP的擬合曲線在拉應力區域更接近抗拉強度的試驗值數據點，但又明顯偏離圍壓為30MPa附近的試驗值點，SS∥的EXP和＊EXP擬合曲線圖與此相似，不再給出。試驗過程中對SS⊥和SS∥加載的圍壓分別高達300MPa和400MPa，分別是單軸抗壓強度試驗值的近3.6倍和4倍，可能由于端部摩擦或其他原因，使得文獻［10］中圍壓為30 MPa附近的試驗值與真實情況不相符。尤明慶［1－2］也指出，指數強度準則可以凸顯異常數據點。另外4種強度準則的擬合結果及相關參數值見表6和表7，其具體的擬合曲線圖不再給出。

圖5 Mesaverde砂巖垂直層理的EXP和＊EXP擬合曲線

表6 Mesaverde砂巖垂直層理的擬合結果

表7 Mesaverde砂巖平行層理的擬合結果

H－B準則、GH－B準則和ROCK準則對SS⊥和SS∥單軸抗壓強度的預測值與試驗值基本一致，但其對單軸抗拉強度的預測值僅是試驗值的近一半甚至更低。GH－B準則的平均擬合偏差mf相對較小。

4 討 論

直線型的M－C準則雖具有明確的物理背景，但不能預測巖石的單軸抗壓強度；H－B準則對單軸抗壓強度的預測略有偏差；而含有3個參數的強度準則都能預測單軸抗壓強度值。

圖7給出6種巖石的抗拉強度的綜合偏差β和綜合擬合偏差γ：

指數強度準則對SS⊥和SS∥試驗數據的擬合結果選取＊EXP。

由圖6可以看出，直線型的M－C準則對抗拉強度的預測以及擬合偏差都最大。ROCK準則對抗拉強度的預測值與試驗值最接近，其次是GH－B準則。EXP準則對抗拉強度的預測不如含2個參數的H－B準則，這是由于其擬合曲線在拉應力區近乎直線。GH－B準則的平均擬合誤差mf最低，ROCK準則的與其相近，但略偏高。SS⊥和SS∥在圍壓為30MPa左右的試驗數據可能與真實情況有差異，使得EXP準則的擬合偏差明顯偏高。

圖6 5種強度準則的綜合比較

抗拉強度遠小于抗壓強度，不會對強度準則的擬合結果產生明顯影響。而將抗拉強度看作是強度準則擬合曲線的一個定點，如文獻［5］中強制擬合曲線通過點（－T，3T），可能降低強度準則預測抗壓強度的準確性和可行性。總的來說，用一個強度準則描述所有巖石的強度特性是很難的，甚至是不可能的。

5 結 論

（1）含有3個參數的GH－B準則、EXP準則和ROCK準則預測的單軸抗壓強度與試驗值基本一致；ROCK準則預測的抗拉強度與試驗值較接近；GH－B準則具有較小的擬合偏差。

（2）抗拉強度對強度準則的擬合結果沒有明顯影響。

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國家自然科學基金資助項目（10572047）.

2012－01－28）

付義勝（1984－），男，河南商城人，碩士研究生，從事巖石力學方面的研究工作，Email：fuyisheng1984＠163.com。