大學數學教學中思考與創新能力培養探討*

孫大為，劉佳瑞

(河南工業大學，河南 鄭州 450001)

大學數學教學中思考與創新能力培養探討*

孫大為，劉佳瑞

(河南工業大學，河南 鄭州 450001)

大學數學內容中蘊含了豐富的內容，是人類長期以來對自然界的觀察與思考后總結提煉出的升華，本文探討了把這些內容貫穿在本科生教學中，對學生思考與創新能力的培養做了有益的嘗試.

大學數學;創新能力;探討

大學數學包含了微積分、線性代數、概率論與數理統計、數學物理方程、復變函數等，課程較多，內容豐富，是各專業的最重要基礎課之一，是學習后續專業課的重要工具，大學生應該高度重視并認真努力學好大學數學.但是很多學生反映大學數學很抽象，學起來比較吃力，往往通過死記硬背，暫時記住一些定理與例題，并沒有理解其思想與精髓，考試后全忘記得一干二凈，這與我們學習大學數學的目的相悖，希望通過大學數學培養學生獨立思考與創新能力更是無從談起.這就需要我們仔細分析大學數學的特點，利用數學的這種嚴謹性、科學性、前瞻性來引導學生們獨立思考，培養自己的創新能力，逐步具有提出問題、分析問題、解決問題的能力.

1 加強數學史教育，激發學生興趣

數學的產生來源于人類長期的生活實踐，其發展就是人類認識世界改造世界的歷史.我國數學歷史源遠流長，早在漢代就有《算數書》、《周髀算經》、《九章算術》等數學著作，宋元時期達到了一個高潮出現了《數書九章》、《楊輝算法》等，涌現了劉徽、祖沖之、楊輝等一批著名的數學家，較早的提出了勾股定理、圓周率的計算、線性方程組的解法等一大批數學成果，清朝更是涌現了與英國牛頓、日本關孝和齊名的大數學家梅文鼎，為近代科學在中國的傳播和發展作出了開創性貢的獻李善蘭、華蘅芳等一批承前啟后、橫貫中西的數學家，他們的著作《平三角舉要》、《弧三角舉要》、《幾何補編》、《幾何通解》《數理精蘊》等揭示了我國也會運用自己獨特的數學思想創立中國式的“微積分”.近代我國又有在解析數論、典型群、自守函數論、多復變函數論等廣泛數學領域中的都作出卓越貢獻的華羅庚、在整體微分幾何上的卓越貢獻，影響了整個數學的發展，被楊振寧譽為繼歐幾里德、高斯、黎曼、嘉當之后又一里程碑式的人物陳省身、在哥德巴赫猜想方面取得迄今為止世界上最好結果的陳景潤、中國現代計算數學研究的開拓者馮康等等，說明我國數學從古代到現代都取得了令人矚目的偉大成就，極大的增強了學生的自豪感.

在學習極限內容時，高中已經學過部分數列求極限的方法，但對于“ε－δ”語言，仍相當吃力，從歷史上《莊子·天下篇》中記載的:“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”、劉徽的割圓術、無理數的引入、以及芝諾的飛矢不動悖論引發數學危機以及數學家柯西、魏爾斯特拉斯、波爾查諾、戴德金等如何做出種種努力來克服這次危機的介紹，展示了人們對于極限概念的認識經歷了一段漫長的過程，從最初時期樸素、直觀的極限觀演變成為近代嚴格的極限理論，為正確理解微積分打下了嚴格的基礎.

2 深刻理解數學概念與內涵，打好堅實基礎

我們在學習導數與微分的時候，比如我們學習積分理論時，就要思考積分是怎么來的，為什么要去學習積分.我們可以從測量的角度來理解，比如我們要計算一塊土地的面積，如果是正方形、長方形我們很容易計算，梯形的我們也能計算，但是稍微復雜一些的怎么辦呢?比如我們國家的面積是960萬平方公里，這個數字是如何測出來的?現在的房屋面積，如果陽臺是不規則的，怎么樣計算陽臺面積?要計算一個邊界不規則的多邊形的面積，我們的先輩最初就是把他們分成最簡單的能計算的小塊再求和來計算其面積，這樣算出來面積“差不多”是不規則多變形的面積，所以我們有了先分割再求和的這種自然而然的想法，那么我們順利成章的引入了積分的定義.但是，是不是每個圖形(曲線)都能這樣分割再求和而得到一個具體數呢，稍微思考一下覺得應該不是怎樣的，比如我們計算海岸線的長度，如果那么分割越細，此和將趨向于無窮，發生這種有悖于常識的情況是因為我們海岸線一般來說是處處不可導的，所以我們一般考慮光滑的函數在有界區域上的積分，理解了這些基本概念與想法，在學習積分定義時就會比較輕松.

3 通過問題啟發獨立思考能力

美國數學家哈爾莫斯說過:“問題是數學的心臟”.好的數學問題對數學的發展有著巨大的推動作用，一個很有意義的問題的解決，在其中投入的巨大努力，以及從中獲得的真知灼見，可能打開一扇新學科的大門，甚至開辟科學的新紀元.

從數學發展歷史來看，也恰恰印證了這一點.20世紀偉大的數學家希爾伯特在1900年的國際數學家大會上作了一次著名演講，還提出了涉及數理邏輯、幾何、數論、代數、拓撲著名的23個數學問題，這些問題都是當時各個分支懸而未決的數學難題，20世紀數學的發展相當一部分就是在不斷的為解決這些難題而不斷探索，對其他學科領域的發展也起到了極大的推動作用.由17世紀法國數學家費馬提出“費馬定理”:“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的.”但經過三百多年的努力，這個數論難題才由狄利克雷和勒讓德、聯邦德國數學家伐爾廷斯和普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯最終證明.證明利用了包括橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等種種高深數學理論，費馬問題的解決也極大地促進了橢圓曲線以及現代密碼理論的發展.1904年法國數學家龐加萊提出了如下一個被后人稱為’龐加萊猜想”的世紀難題“任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚.”這本是一個拓撲問題，美國數學家史提芬·斯梅爾證明了五維以上的龐加萊猜想，但對于低維的卻遲遲未能解決，但最終的解決卻由俄羅斯數學家佩雷爾曼運用了理查德·漢密爾頓引入的“RICI流”這一幾何分析方法，這一方面促進了幾何分析學發展，另一方面對低維拓撲的發展也起到了革命性的作用.

問題意識是思維的動力，恰當地提出問題，能引導學生不斷思考，不斷探索.在學完導數內容時，作者提出了如下問題問為什么學了高階導數而沒有講高階微分?學習了求一階導數、二階導數，為什么沒有一點五階導數，可以自然地引起同學們的思考，可以思考微分與導數的定義與差別，為以后學習微分形式、分析幾何奠定了基礎.利用數學歸納法求解部分行列式或者進行不等式的證明時，可以引入如下問題:上述傳統的歸納法都是針對離散對象的，對連續情形有沒有類似的歸納法?通過這些問題的設置，激發起學生的求知欲望和好奇，逐步養成獨立思考不斷發現不斷探索的能力.

4 加強動手能力

數學本身是一門邏輯性和嚴謹性都很強的科學，它要求我們每一步都必須嚴格而準確，有了興趣和愿意思考是學好數學的第一步，我們仍需腳踏實地踏踏實實的推理和演算，逐步培養我們邏輯思維能力.我們從斜率與速度了解了導數、從線性方程組了解到行列式及矩陣運算以后，只記住一些性質定理是遠遠不夠的，要想熟練掌握相關內容就需要在下面認真仔細地練習，避免眼高手低.特別是多元函數求偏導很容易忽略某些項而導致最終計算結果錯誤，行列式的計算以及求逆矩陣等內容更是在計算中一不小心就會出現錯誤，這就要求我們既要會算，更要認認真真仔仔細細地計算.偉大的數學家曾經給出如下公式:假如每點，每一方向上曲率都等于α，那么這個常曲率流形的線元可表示為:

這就是黎曼在就職演說中的唯一公式，發展了高斯的內蘊幾何學思想，在幾何學歷史上有具有重大的意義.但是其構造確實需要大量的耐心細致地演算.

5 正確運用數學思想學會分析問題解決實際問題能力

數學基礎課大多是偏重理論講授，幾乎以定義、定理、證明、例題來行文，我們不但要學會數學知識，更要會靈活運用數學思想來解決我們碰到的實際問題.數學最核心的思想就是從紛繁復雜的世界中提煉出最有用的信息，把復雜的問題簡單化，把沒有出現過的化成曾經解決過，從而達到解決問題的目的.比如我們學習高階微分方程時，通常是降階，把它化成低階的能計算的類型來處理，計算行列式的時候，如果完全按照定義，那么對稍微高階(比如20階)的行列式計算都不太現實，我們都是通過行變換或者列變換把它化成低階行列式進行計算.

宏觀的天體運行、火箭發射以及微觀的分子間運動、與我們實際生活聯系緊密的道路交通優化問題、證券投資收益問題、人口演化、企業管理問題等問題都有數學相應的理論作為支撐.自諾貝爾設立經濟學獎以來，越來越多的經濟學家以數學作為主要的工具，并且涌現了納什一批數學家為代表的諾貝爾獎獲得者，這恰恰說明我們如果能恰當地正確地運用數學思想、數學方法，將極大的提高解決實際問題能力.

6 措施

(1)加強師資隊伍建設.注重提高數學教師群體科研水平，通過科研水平來提高教師自身的素質.著名科學家、教育家錢偉長曾指出“教師進行教學工作是天職，但做好教學工作，必須進行科研.因為科學進步很快，只有進行科學研究的人，參加科學創新的人，才有條件理解創新精神，從而在教學工作中培養出有創新精神的人.”鼓勵學術交流，經常性的參加名師精品課程培訓，相互討論，交流心得，不斷吸取先進的教學科研方法，從而帶動整體水平的提升.

(2)加強優質教材的建設.結合不同層次學校的實際需要，編著或者選用那些契合度高，難度適宜，學生理解更容易，應用性更強的教材，來引導學生接受數學、喜歡數學、用好數學.

(3)加強考核方式建設.針對不同類型、不同專業的學生，采取靈活的考核方式.改變定義、定理、習題這種傳統的枯燥的教學考核模式，采取分層教學、單獨考核、學生講課、學生出題等方式，解決學生接受能力差，考核太單一的弊病.

［1］馮振舉.數學史在大學數學教育中的作用［J］.西南交通大學學報，2007，8(6).

［2］徐永春，趙喜清，韓振芳.大學數學教學中滲透數學實驗的探索與實踐［J］.河北北方學院學報，2010，26(3).

［3］王有文，李瑞軍.高等數學教學中數學思想方法作用的強化［J］.天水師范學院學報，2010，30(2).

［4］邱學紹.微積分及其應用［M］.北京:機械工業出版社，2008.

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