亞純函數分擔值的唯一性

于家富

(齊魯師范學院成人教育處，山東 濟南 250013)

張克玉

(齊魯師范學院數學系,山東 濟南 250013)

亞純函數分擔值的唯一性

于家富

(齊魯師范學院成人教育處，山東 濟南 250013)

張克玉

(齊魯師范學院數學系,山東 濟南 250013)

利用Nevanlinna理論研究了亞純函數分擔值的唯一性問題。在假設函數的零點和極點的重數s≥1的條件下,得到了一個主要定理,推廣和改進了前人的結果。

亞純函數；分擔值；唯一性

采用亞純函數Nevanlinna理論的標準記號[1]。令f、g是非常數的亞純函數，a為任意復數，如果f-a與g-a有相同的零點并且重數相同，稱f與gCM分擔a，類似的；如果f-a與g-a有相同的零點(不計重數)，稱f與gIM分擔a。

近年來，很多復分析學者對于微分多項式分擔值問題進行了深入的研究。Dyavanal R S[2]在引入亞純函數零點和極點的重數后，得到了下面的一些結論:

定理A令f和g是2個非常數的超越亞純函數,f和g的零點和極點至少是s重的,s∈Z+。令n≥2,n∈Z+且滿足(n+1)s≥12,如果fnf′和gng′CM分擔值1, 則：

f=dg

式中，d滿足dn+1=1或者g(z)=c1ecz,f(z)=c2e-cz；c1、c2、c是常數，(c1c2)n+1c2=-1。

定理B[3]令f和g是非常數的整函數,n、m、k是正整數且n> 2k+m*+4,λ,μ是滿足|λ|+|μ|≠0的常數。如果[fn(μfm+λ)](k)與[gn(μgm+λ)](k)CM分擔1,則：

1)如果λμ≠0,則f(z)≡g(z)；

2)如果λμ=0,則f=dg,dn+m*=1,或g(z)=c1ecz,f(z)=c2e-cz。

式中，c1、c2、c是常數且滿足(-1)kλ2(c1c2)n+m*[(n+m*)c]2k=1或者(-1)kμ2(c1c2)n+m*[(n+m*)c]2k=1。

下面，筆者利用Nevanlinna理論研究了亞純函數分擔值的唯一性問題。

1 主要引理

引理1[1]令f和g是2個非常數的亞純函數,n是正整數,αi是亞純函數且滿足T(r,αi)=S(r,f),設P(f)=anfn+an-1fn-1+…+a1f,則T(r,P(f))=nT(r,f)+S(r,f)。

引理2[4]令f和g是非常數的亞純函數,f(k),g(k)IM分擔非零多項式P(z),k≥1,k∈Z+。如果：

Δ1=(2k+4)Θ(∞,f)+(2k+3)Θ(∞,g)+Θ(0,f)+Θ(0,g)+3δk+1(0,f)+2δk+1(0,g)>4k+13

Δ2=(2k+4)Θ(∞,g)+(2k+3)Θ(∞,f)+Θ(0,g)+Θ(0,f)+3δk+1(0,g)+2δk+1(0,f)>4k+13

則f(k)g(k)≡P2或者f(z)≡g(z)。

引理3[5]設f是非常數的整函數,k≥2,k∈Z+,若ff(k)≠0,則f=eaz+b(a,b是常數)。

2 主要結果

2)如果λμ=0,若f≠∞,g≠∞,則f=dg,dn+1=1,或g(z)=c1ecz,f(z)=c2e-cz。

式中，c1、c2、c是常數且滿足(-1)kλ2(c1c2)n+m*[(n+m*)c]2k=1或者(-1)kμ2(c1c2)n+m*[(n+m*)c]2k=1。

證明令F=fn(μfm+λ),G=gn(μgm+λ),由于：

(1)

(2)

因為s(n+m*)>9k+ 14，所以由式(1)、(2)得到：

同理：

由引理2可以得到F(k)G(k)≡1或者F≡G。

情形1如果F(k)G(k)≡1,即：

(4)

對于k=1,存在整函數α(z),β(z),使得f=eα,g=eβ.則(n+m)2μ2α′β′e(n+m)(α+β)≡1。因為α′,β′沒有零點,令α′=eδ(z),β′=eγ(z),這里δ(z),γ(z)是整函數,則：

(n+m)2μ2α′β′e(n+m)(α+β)≡1 (n+m)(eδ+eγ)+δ′+γ′≡0

(5)

因為δ(z),γ(z)是整函數,所以：

因此：

T(r,eδ)=T(r,eγ)+S(r,eδ)+S(r,eγ)S(r,eδ)=S(r,eγ)=S(r)

則eδ是常數；同理eγ也是常數,所以ω=0,矛盾。所以ω=-(δ′+γ′)≡0,從而eδ+eγ≡0,即δ=γ+(2ρ+1)πi,ρ是整數,因此δ′=γ′=0。所以δ,γ是常數,也就是α′,β′是常數。同理,當λ≠0,μ=0結論也是成立的。

令zi1是f-ai的pi1階零點,則zi1是fn(μfm+λ)的pi1-k階零點,由(4)可以得到zi1是g的qi1階極點,則pi1-k=(n+m)qi1+k,即pi1=(n+m)s+2k。同理對gn(μgm+λ)有相似的結論。由亞純函數唯一性理論可知，存在某個正常數c,使得c(T(r,f)+T(r,g))≤S(r,f)+S(r,g),矛盾。

情形2F(z)≡G(z),即fn(μfm+λ)≡gn(μgm+λ)。

如果λμ=0,由|λ|+|μ|≠0,則f=dg,d是滿足dn+1=1的常數。

假設h≠1,令f=gh得：

(6)

則T(r,f)=T(r,gh)=(n+1)T(r,h)+S(r,f)，由第二基本定理可以得到：

[1] Yang C C, Yi H X.Uniqueness and value sharing of meromorphic functions[M].Kluwer Academic Publishers,2003.

[2] Dyavanal R S.Uniqueness and value-sharing of differential polynomials of meromorphic functions [J].Math Anal Appl, 2011, 374(2): 335-345.

[3] Zhang X Y, Lin W C.Uniqueness and value-sharing of entire functions [J].Math Anal Appl,2008, 343(2): 938-950.

[4] Li X M.Uniqueness of meromorphic functions whose certain nonlinear differential polynomials share a polynomial[J].Comput Math Appl, 2011,62(2)：539-550.

[5] Frank G.Eine Vermutung von Hayman uber Nllstellen Meromorpher Funktion[J].Math Z,1976,149 (2)：29-36.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.10.001

O174.5

A

1673-1409(2012)10-N001-03