基于最大熵原理的廣義灰色關(guān)聯(lián)模型及應(yīng)用

黎延海

(陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西 漢中 723000)

基于最大熵原理的廣義灰色關(guān)聯(lián)模型及應(yīng)用

黎延海

(陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西 漢中 723000)

通過(guò)對(duì)現(xiàn)有灰色關(guān)聯(lián)模型的研究，以序列相鄰采樣點(diǎn)間的面積作為計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)的依據(jù)，并基于離差最大化和最大熵原理，建立了計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)權(quán)重的數(shù)學(xué)模型，得到加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)度。將該模型應(yīng)用于工程招標(biāo)問(wèn)題中，結(jié)果表明該模型有較高的可靠性和應(yīng)用性。

灰色關(guān)聯(lián)分析；離差最大化；最大熵原理；工程招標(biāo)

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論[1-2]的重要組成部分，是研究系統(tǒng)內(nèi)部因素之間關(guān)聯(lián)程度的一種數(shù)學(xué)模型。灰色系統(tǒng)理論發(fā)展至今，已有許多成熟的關(guān)聯(lián)度模型，如鄧氏關(guān)聯(lián)度、廣義灰關(guān)聯(lián)度、絕對(duì)關(guān)聯(lián)度、T型關(guān)聯(lián)度、斜率關(guān)聯(lián)度等，這些模型分別按照基于距離、基于斜率和基于有向面積的相似度量原理來(lái)進(jìn)行分析。鄧氏關(guān)聯(lián)度容易受到數(shù)據(jù)極值和采樣數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響，廣義灰色關(guān)聯(lián)度在2曲線上下波動(dòng)時(shí)所得結(jié)果與定性分析不一致[3-4]，并且將灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)做簡(jiǎn)單的算術(shù)平均來(lái)得到灰色關(guān)聯(lián)度，會(huì)造成信息損失和局部點(diǎn)關(guān)聯(lián)測(cè)度值控制整個(gè)灰色關(guān)聯(lián)序[5-6]。為此，筆者采用2曲線相鄰采樣點(diǎn)間的面積作為灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算依據(jù)，討論了分辨系數(shù)的選取，基于離差最大化和最大熵原理[7-8]，建立加權(quán)系數(shù)的數(shù)學(xué)模型，得到了加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)度模型，并將改進(jìn)的關(guān)聯(lián)度模型應(yīng)用于工程招標(biāo)問(wèn)題中。

1 基于最大熵原理的廣義灰色關(guān)聯(lián)度

1.1 改進(jìn)的面積灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)

定義1設(shè)系統(tǒng)特征序列X和行為序列Xi分別為：

X={x(t1),x(t2),…,x(tn)}Xi={xi(t1),xi(t2),…,xi(tn)} (i=1,2,…,m)

1.2 關(guān)聯(lián)系數(shù)權(quán)重的優(yōu)化模型

定義2[10-11]ξi={ξi(1),ξi(2),…,ξi(n-1)}為灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)序列，就其第k個(gè)分量，稱(chēng)：

為序列ξi與其他序列的離差。稱(chēng)：

為所有序列與其他序列的總離差。

灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)反映了比較序列各點(diǎn)對(duì)主行為序列的影響。如果關(guān)聯(lián)系數(shù)序列的第k個(gè)分量對(duì)所有序列而言無(wú)大的差異，則該分量對(duì)關(guān)聯(lián)度的影響較小，該分量的權(quán)值就應(yīng)該較小。反之，如果第k個(gè)分量使所有序列的關(guān)聯(lián)度有較大的差異，則該分量的權(quán)值就應(yīng)該取較大值。同時(shí)由于各分量的權(quán)重是一個(gè)隨機(jī)變量，具有不確定性。為得到合理的權(quán)重，一方面應(yīng)使所有序列分量對(duì)所有序列的總離差最大化，另一方面盡量消除各分量權(quán)重的不確定性，為達(dá)到上述2個(gè)目標(biāo)，可建立如下的優(yōu)化模型：

(1)

其中，0<μ<1，用來(lái)表示2個(gè)目標(biāo)間的平衡系數(shù)，可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題預(yù)先給出。

定理1[8]模型(1)有唯一解，其解為：

1.3 加權(quán)關(guān)聯(lián)度模型的建立

采用2曲線相鄰采樣點(diǎn)間的面積來(lái)計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)ξi，基于離差最大化和最大熵原理，求得關(guān)聯(lián)系數(shù)的權(quán)重ωk，建立加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)度模型，即：

稱(chēng)為序列X與Xi的改進(jìn)廣義灰色關(guān)聯(lián)度。

1.4 改進(jìn)關(guān)聯(lián)度的性質(zhì)

顯然，改進(jìn)的關(guān)聯(lián)度模型可以很好的度量曲線的相似性，并滿(mǎn)足灰色關(guān)聯(lián)4公理，即規(guī)范性、整體性、偶對(duì)稱(chēng)性和接近性。

2 應(yīng) 用

某市一建筑工程采用工程量清單計(jì)價(jià)模式進(jìn)行招標(biāo)，有4家投標(biāo)單位通過(guò)了資格預(yù)審。各投標(biāo)單位的評(píng)價(jià)指標(biāo)值見(jiàn)表1。其中工程質(zhì)量保證體系、近5年工程質(zhì)量情況和施工組織設(shè)計(jì)這3項(xiàng)指標(biāo)值是通過(guò)專(zhuān)家打分得到。

表1 投標(biāo)單位標(biāo)書(shū)評(píng)價(jià)指標(biāo)值

設(shè)X={892.52,80,167,87,80,90,17.2}作為參考序列，取平衡系數(shù)μ=0.5，得到關(guān)聯(lián)系數(shù)權(quán)重向量ω=(0.154952,0.123027,0.041297,0.110691,0.458945)，最后得到4個(gè)方案與理想方案的灰色關(guān)聯(lián)度為r1=0.79007，r2=0.502046,r3=0.57794，r4=0.669945，則方案排序?yàn)椋悍桨?、方案4、方案3和方案2，所得結(jié)果與文獻(xiàn)[12]結(jié)果一致，證明了方法的可靠性。

3 結(jié) 語(yǔ)

以改進(jìn)的廣義灰色關(guān)聯(lián)度為基礎(chǔ)，利用優(yōu)化理論和最大熵原理，對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)加權(quán)平均計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)度，綜合考慮了整體性對(duì)灰色關(guān)聯(lián)度的影響，討論了分辨系數(shù)的選取，能夠有效控制關(guān)聯(lián)系數(shù)的波動(dòng)性，解決了局部點(diǎn)控制關(guān)聯(lián)序的問(wèn)題，并在序列波動(dòng)和存在極值干擾時(shí)仍具有較高可靠性。將該模型應(yīng)用于工程招標(biāo)問(wèn)題中，通過(guò)比較分析，所得評(píng)價(jià)結(jié)果合理，與定性分析相一致，證明了該模型的實(shí)用性和有效性。

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[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.10.003

O223

A

1673-1409(2012)10-N008-02