地表水水量和水質的聯合實時控制

1 前言

很多天然河流和渠道由于受到污染而出現水質問題。本文以圩田系統為例，圖1是一個典型的荷蘭圩田，屬于被堤防環繞的低洼區域，區域內很多溝渠通過水利設施(如堰閘)彼此相連。其外圍的運河海拔較高，可以儲存雨季多余的水量，以在干旱期間給圩田提供淡水。通過水利設施，可使圩田溝渠和運河的水位維持在接近控制水位，并維持圩田內的固定地下水位，避免蓄水運河堤防決口。由于很多營養元素(如氮或磷)排放到溝渠內，使水質受到影響。夏季由于受到鹽堿地滲漏和溫室排水影響，地表水水質也會惡化。

在圩田水管理中，水量和水質為獨立控制。為了控制水質，根據系統狀況，按特定間隔時間使用既定的沖洗策略，3 d 1次。該策略是基于污染的最壞情況，即全年都可能發生污染。例如，在一場大雨過后，許多化肥養分迅速排入溝渠，導致水質惡化。因此，為應對干擾，應采用實時控制。水質傳感器能連續按秒收集測量成果，甚至可以在渾濁的水環境下工作。

圖1 荷蘭圩田示意

在實例中，控制了幾個運河河段(多變量控制)和制訂了多目標(水位和水質控制)。MPC是一種先進的控制技術，可以對特定限制條件進行優化。在MPC用于水質時，需要用向前估計來預測各河段內的控制變量。這些預測成果是需輸入MPC簡化模型的部分信息。在MPC優化的外圍，執行向前估計。圖2為實施過程。本研究創新之處是以綜合框架將水量和水質控制方法相結合。

2 方法

2.1 向前估計

圖2 向前估計及MPC水量和水質控制示意

向前估計為預模擬水流和污染物輸移。采用圣維南方程和一維對流擴散輸移方程兩個線性近似解，來預測河段入流、出流和平均濃度。基于已優化的控制流量，預測涵蓋整個范圍。方程(1)～(3)說明向前估計中使用的這些偏微分方程。對于輸移方程，假定橫斷面混合瞬時完成，在運河沖洗期間，假定污染物不發生降解。圖3為運河河段示意。

式中，A為過水斷面面積，m2;Q為流量，m3/s;u為平均速度(m/s)，u=Q/A;ζ為基面以上水深，m;Cz為謝才系數，m1/2/s;G為重力加速度，m/s2;C為平均濃度，g/m3;C1為側向水流的濃度，g/m3;t為時間;x為水平距離;q1為單位長度上的側向流量，m3/s/m;R為水力半徑(m)，R=A/Pf(Pf是濕周，m);K為離散系數，m2/s。

圖3 運河河段示意

用菲舍爾提供的方程，計算縱向離散系數K:

式中，W為平均河寬，m;D為平均水深，m;us為剪切流速，m/s;S為運河河底坡度(比降)。

結合一階迎風近似值，以交錯傳統方案的形式開發了空間離散方程(1)～(3)。在交錯網格上，缺少點i的*ui值和點(i+1/2)的*C值(圖4)。應用迎風近似值，獲得水流方向的數值。

其中:

時間集成方案是根據“Theta”法。方程彼此連接，從而形成三階矩陣方程。

圖4 交錯一維網格示意

2.2 模型預測控制

自20世紀70年代以來，MPC在工程領域得到較好的運用，近年來被引進到水質管理，用于各種開放式運河及其支流的水位控制(見圖5)。

圖5 MPC框架

MPC需要其他模型來預測系統的未來特征。常用圣維南方程和對流擴散輸移方程來描述水深較淺水系的水量和水質動態。源于控制理論的一個離散的時間變體狀態空間模型可以表示為:

式中，X(R)為狀態向量;D(k)為干擾向量;U(k)為輸入向量;A(K)為狀態矩陣;Bu(k)為控制輸入矩陣;D(k)為干擾矩陣;C為輸出矩陣;Y(k)為輸出。該方程由矩陣構成，可用MATLAB范例求解。

圣維南方程制定了許多線性近似解，特別是灌溉水渠。將整個渠道分割成幾小段，用正式的估計器或觀測器來估算每段液壓信息。然而，這種近似解不適合MPC，只有簡化模型來保證系統的主要特性。因此開發了積分滯時模型，即集總參數模型。假設整個渠道的兩個元素分別為均勻流部分的延時特征和回水部分的水面面積特征，則:

式中，eh為與控制水位的水位偏差，m。當控制水位為常數時，該值與水位h有同樣的導數;Qin為入流流量，m3/s;Qout為出流流量，m3/s;As為回水水面面積，m2;τ為均勻流部分的延遲時間，s。

為簡化水質模型，有人提出了一個湖泊模型，該模型作為完全混合系統維持質量守恒。如果湖泊的平均濃度和出流濃度可以計算出來，該模型可以修正成一個非混合系統。在該條件下，可用向前估計模塊計算。則水質質量守衡方程為:

代入水體質量守衡方程，方程(10)變為:

式中，V為河段槽蓄水量，m3;ec為平均濃度與控制濃度的偏差，g/m3，當控制濃度是常數時，該值與平均濃度c有相同的偏差;cin、cout為入流和出流濃度，g/m3。

對于MPC，目標函數用來描述水量與水質相結合的控制目標:

式中，N為預測時段內的總步驟數;M為運河總河段數;ΔQ為變化流量(包括閘門和抽水泵)，m3/s;Qh，Qc和 R ΔQ 為 eh、ec及 ΔQ 各自的損失;ec為模擬變量，作為軟限制條件，g/m3。

軟限制條件是指當河段水體清潔時(低于控制濃度)可不進行水質控制，即當河段現狀或輸入違反限值時，作為附加損失，可執行軟限制條件。RC是模擬輸入損失，其值非常小，這使無論ec(k)取多大值，Rcec2(k)幾乎都等于零。QP代表泵抽水流量，m3/s;ΔQ和Qp是絕對不能違反的硬限制條件。

3 測試案例

3.1 案例設置

3個水上閘門將運河分隔成4小段。表1為各段水量和水質控制目標。圖6為運河特征。為使空間離散，每個河段又被分成100個長10 m的小段。在出現控制鹽分情況時，設想污染物至少在沖洗期間低于實際數量。在每個時間步長，通過方程(4)估計每個離散速度點的離散系數。通過1號閘門從蓄水運河引入淡水，使用抽水泵使另一端的水體離開系統。每個河段有幾個已受到污染的側向流，且對系統形成干擾。表2為其初始流量和濃度。

表1 水位和濃度控制值

表2 每個河段的側向流量

表3 MPC目標函數損失

圖6 運河縱剖面的幾何特征

總模擬時間為20 h。在模擬過程中，第2個河段的側向水流濃度在5 h內由1.4 g/m增至5.6 g/m(1步變化)，之后保持不變。其他側向濃度和流量依然存在。側向濃度的增加為隨機性，假定所使用的精確干擾方案與實時控制評價無關。案例說明實時控制如何糾正水質干擾，同時又能維持水量標準。整個系統在MATLABS進行模擬和測試。

3.2 MPC設置

內置模型和目標函數與預測控制模型部分一致。在狀態空間模型中，X(k)包括選點的水位偏差、濃度偏差和延時步長下的流量;U(k)包括每座建筑物的流量變化和每個河段的實際輸入ec(k)，這些條件決定著是否進行水質控制;D(k)包括所有側向流。離散延遲步長通過水流輸送時間(L/估計，其中:L為運河長度，m;R為水力半徑，m;g為重力加速度，m/s2;u為平均流速，m/s。計算導致每個河段有2個延遲步長再加上4 in控制時間。MPC控制器使用1 r測時段。當MPC檢測到時段內側向濃度有變化，必須調整當前控制步驟的流量。

要想獲取設置目標函數起點損失的方法，只有反復試驗，不斷調整參數。見表3。

3.3 傳統控制設置

PI是常用的水管理控制方法。對于干擾，它相對簡單和強勁，已在灌溉和河道水位控制系統中得以應用。在此使用PI，是為了同MPC的性能進行比較，以說明后者的優勢。PI控制原理可表達為:

式中，K為離散時間指標;ΔQ為某一設施的流量變化，m3/s;Kp、Ki為比例和積分增益因子;e為控制水位的水位偏差，m。

通過確定e，可將該方法擴展運用于水質控制。在圩田沖洗情況下，1號閘門(流入到系統)與污染最嚴重河段的水質變量相連接，其余閘門和抽水泵借助于分離器，對每一個河段的水位在當地上游實施控制。該分離器為反饋控制，具有弱化上下游河段之間水流相互影響的功能。在這種情況下，分離器直接向其他所有設施發送上游閘門的水流信息，從而避免水位的異常波動。

表4顯示了PI控制選定的增益因子。

表4 PI控制增益因子

4 結果

圖7～11為PI和MPC的模擬結果，顯示了閘門和抽水泵流量與控制值的水位偏差和平均污染物濃度偏差。圖7～9是PI控制結果，圖10～11是MPC的結果。顯然，隨著水質步長變化，PI和MPC都能穩定水位和恢復水質，使其回到控制值。都可將系統從一種狀態移到另一種狀態。

圖7 水利設施排水量(PI控制)

圖8 水位偏差(PI控制)

圖9 平均濃度偏差(PI控制)

圖10 水利設施排水量(MPC)

圖11 平均濃度偏差(MPC)

運用PI控制，當步長發生變化時，閘門1號會響應，這代表水質惡化時刻出現。同時，水位控制器會降低每個水池末端的水位。圖8～9顯示PI能有效維持水位，但河段3和4的水質惡化比較嚴重。

MPC可根據預測情況提前調整系統(每4 h預報一次)。當檢測到時段內側向濃度增加時，MPC向系統排放干凈水流，以在第一時間降低水體濃度。通過對比PI控制結果(圖7)，可以看出，當側向變化實際發生時，濃度增加有更大的空間。PI控制的濃度峰值要高很多，表明與MPC有顯著差異。圖9和圖11也反應出這種差異特性。圖12顯示MPC可將水位控制在一個相對安全的范圍內。

圖12 水位偏差(MPC)

5 結論與討論

以圩田潮紅為例，探討了地表水水量和水質聯合控制的創新方法，并對其應用成果作了總結。

(1)PI和MPC都能維持水位，并在渠道洗井期間，恢復其水質至目標值。

(2)PI控制是采取后期行動，而MPC的優勢是預測，尋求濃度偏差小，沖洗策略最佳。

(3)當向前估計程序應用于簡化的MPC水量和水質模型時，其可行性得到了證實。

根據對MPC和PI應用結果的比較，需對以下3個方面開展討論。

(1)功能。PI比MPC的操作簡單，所需計算時間較少。PI控制可以使系統相對穩定，但其功能有限(第1號閘門控制水質，其余維持水位)。PI控制專為運河沖洗而設計。用于系統內水量少，水質較好的情況，但不能向下游供水，因為第1號閘門的調度不是用來維持水量。而MPC是一個統籌考慮了水量和水質的多目標控制系統，因此它比PI的控制功能更多。

(2)靈活性。MPC考慮到了系統在優化方面的局限性。在嚴重濃度峰值到來前，它可基于預測提前做出響應，創造附加機動時間。特別是當水質偏差幅度很小，限制性條件很容易被違反時，該機動時間非常重要。而對PI而言，違反限制性條件可能無法避免，或僅通過非常嚴格的控制來緩和。

(3)執行困難。僅使用現場測量結果無法滿足MPC的要求，它需運用適當的模型預測未來的行為。而PI只在發生偏差時做出響應，測量結果足以滿足控制器所需。這使PI控制更加容易實現。