可對角化線性變換的幾個特殊性質

咼林兵 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

可對角化線性變換的幾個特殊性質

咼林兵 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

對n維線性空間上可對角化的線性變換進行了研究，給出了其幾個特殊的性質。

線性變換；對角化

定理1設V是n維線性空間，σ為V上的線性變換，若σ可對角化，且有循環向量，則σ有n個互不相同的特征值，設α1,α2,…,αn是它們的對應的特征向量，則α1+α2+…+αn是σ的循環向量。

先證σ有n個互不相同的特征值。假設σ有2個相同的特征值，不妨設λ1=λ2，則σ的最小多項式為:

m(λ)=(λ-λ2)(λ-λ3)…(λ-λn)=λn-1+an-2λn-2+…+a1λ+a0

即有:

σn-1+an-2σn-2+…+a1σ+σ0E=0

從而?α∈V有:

m(σ)α=σn-1α+an-2σn-2α+…+a1σα+a0α=0

則α,σα,…,σn-1α線性相關，于是σ沒有循環向量[1]，矛盾，因此σ必有n個互不相同的特征值。

設α1,α2,…,αn是λ1,λ2,…,λn,λi≠λj，i≠j的對應的特征向量，則σαi=λiαi，i=1,2,…,n，因不同特征值的特征向量線性無關，則α1,α2,…,αn形成V的一組基。

令α=α1+α2+…+αn，顯然有：

σα=σ(α1+α2+…+αn)=λ1α1+λ2α2+…+λnαn

由于:

因λ1,λ2,…,λn互不相同，從而等式右邊的n階矩陣的行列式不為零，則α,σα,…,σn-1α線性無關[2]，從而形成的V一組基，故α=α1+α2+…+αn是循環向量。

定理2設V是n維線性空間，σ為V上的線性變換，且σ可對角化。若λ1,λ2,…,λs為σ的互不相同的特征值，記λi的特征子空間為Vi，ki=dimVi，則：

1)每個向量α可唯一的表示為α=β1+β2+…+βs,βi∈Vi。

2)向量α生成的循環子空間為β1,β2,…,βs在數域上生成的子空間。

3)向量α的最小零化多項式為mi(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)。

5)V=F[σ]α⊕…⊕F[σ]αr是V的循環分解。

2)若對某α個分解式中所有βi均不為0，因為βi分別屬于不同的特征值，所以β1,β2,…,βs線性無關。又：

α=β1+β2+…+βs

有：

所以：

因為上式右邊的矩陣行列式不為零，所以α,σα,…,σs-1α線性無關，是L(β1,β2,…,βs)的一組基。所以L(α,σα,…,σs-1α)=L(β1,β2,…,βs)。若分解中有某個βi=0，則記：

α=βi1+βi2+…+βik

亦類似可得：

L(α,σα,…,σik-1α)=L(β1,β2,…,βs)

4)取Vi的一組基βi1,βi2,…,βiki，則β11,β12,…,β1k1∈V1,β21,β22,…,β2k2∈V2,…,βs1,βs2,…,βsks∈Vs，是σ的n個線性無關的特征向量，構成V的一組基，記：

α1=β11+β21+…+βs1α2=β12+β22+…+βs2αt=β1t+β2t+…+βstr=max{ki}

5)由4)知所有βij構成的一組基，所以對?α∈V，有：

又F[σ]αj∩F[σ]αm=0,(j≠m)，因此V=F[σ]α1⊕…⊕F[σ]αr。

[1]許甫華，張賢科.高等代數學[M].北京:清華大學出版社，1997.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1988.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.08.003

O151.2

A

1673-1409(2012)08-N006-02

2012-01-12

湖北省教育廳教研項目(2010199)。

咼林兵(1969-)，男，1991年大學畢業，碩士，副教授，現主要從事高等代數方面的教學與研究工作。

[編輯] 洪云飛