基于改進GM(1,1)模型的沉降監測數據處理方法探討

王家幫 (廣西國土資源規劃設計院，廣西 南寧 530022)

黃長軍 (湖南城市學院市政與測繪工程學院, 湖南 益陽 413000；武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079)

咸茂鮮 (廣西國土資源規劃設計院，廣西 南寧 530022)

曹元志 (湖南城市學院市政與測繪工程學院, 湖南 益陽 413000)

基于改進GM(1,1)模型的沉降監測數據處理方法探討

王家幫 (廣西國土資源規劃設計院，廣西 南寧 530022)

黃長軍 (湖南城市學院市政與測繪工程學院, 湖南 益陽 413000；武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079)

咸茂鮮 (廣西國土資源規劃設計院，廣西 南寧 530022)

曹元志 (湖南城市學院市政與測繪工程學院, 湖南 益陽 413000)

在分析GM(1,1)預測模型存在不足的基礎上，提出了GM(1,1)模型的改進形式。運用序列算子作用和加權均值的方法來增強原始序列數據的光滑度；考慮到沉降監測數據序列既含有線性趨勢又有指數增長趨勢，用GM(1,1)和線性回歸的組合模型對其進行建模和分析。實例分析表明，改進后的GM(1,1)模型可以提高預測精度，從而滿足工程實際要求。

GM(1,1)模型；序列算子作用；加權均值；線性回歸

近年來，用數學模型來逼近、模擬和揭示變形特性，進而進行相應預測已成為新的研究趨勢。但由于模型本身的局限性，導致預測精度不高。目前，有關學者提出GM(1,1)模型的改進方法[1]，但沒有充分考慮模型中序列數據出現異常的情況，而實際生活中有很多因素會對沉降監測數據序列有所影響,使得序列數據出現異常，若仍用原有數據序列進行建模預測，勢必會出現很大的偏差而影響預測精度[2]。針對上述情況，筆者基于改進GM(1,1)模型對沉降監測數據處理方法進行了探討。

1 GM(1,1)模型概述

1.1GM(1,1)模型的建立

設有非負原始時間序列x(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，對原始時間數據序列作一次累加生成序列：

x(1)=AGOx(0)x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(1)

GM(1,1)模型的灰微分方程為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(2)

式中，z(1)(k)=(x(1)(k-1)+x(1)(k))/2(k=2,3,…,n)稱為白化背景值；a為發展系數；b為灰作用量，其對應的白化微分方程為：

(3)

根據最小二乘法原理，式(2)的參數可求出：

(4)

(5)

(6)

當t=1,2，…，n時，式(5)即為式(3)的離散形式解，此時：

(7)

式中，x(0)(k)(k=1,2，…，n)是原始數據序列的擬合值。

1.2GM(1,1)模型的局限性分析

①GM(1,1)模型的擬合與預測精度取決于參數a和b，而a和b的值又依賴于原始序列和背景值的構造形式。在實際建模的過程中，需要先對原始序列進行級比平滑檢驗，該序列只有在滿足光滑性要求的前提下，建模預測的結果才會較為準確，否則建模預測的結果不準確。②建模時用指數函數來模擬生成數據，這要求原始數據服從一定的分布，但只適用于變形呈指數趨勢變化情況，而對在趨勢線上發生跳變的序列數據出現異常(如指數偏離過大甚至減小)的情況則沒有考慮。

2 GM(1,1)模型的改進

2.1序列算子作用下的GM(1,1)模型

設原始數據序列為x(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n)}，一階弱化算子XD1和一階強化算子XD2：

XD1={x(1)d1,x(2)d1，…,x(n)d1}XD2={x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d2}

為一階作用算子序列，其中：

弱化算子D1會使原始序列X的變化速度變慢, 強化算子D2會使原始序列數據變化速度加快，相應的，XD1D1為二階弱化算子,XD1D1為二階強化算子。研究表明，強化算子與弱化算子都能使序列增加光滑性[6]。

2.2GM(1,1)與線性回歸組合模型

為解決GM(1,1)預測中存在的數據跳變問題,利用線性回歸適用短期預測的特點,提出了一種新的預測方法，即用GM(1,1)模型預測將來可能的數據跳變日期點,對其他非跳變點則使用分段線性回歸函數進行預測。

1)設原始序列X(0)和歷史數據Q(0)為：

X(0)={x(0)(q(1)),x(0)(q(2)),…x(0)(q(n))}Q(0)={q(1)，q(2)，…，q(n)}

2)以原始序列為依據畫出折線圖，以q(i)為x軸，以x(0)(q(i))為y軸。

3)觀察折線圖，從原始序列中選擇跳變點，跳變日期點和跳變值分別組成跳變日期原始序列和跳變原始序列。

其中，ap、bp分別為跳變函數的參數；ax、bx分別為預測涵數的參數。

5)運用跳變預測函數預測下面若干個跳變日期和跳變值：

6)當預測日期是預測跳變日期點時，運用GM(1,1)模型的跳變函數進行預測：

7)當預測日期不是預測跳變日期點時，運用線性回歸函數Y(X)=a+bX進行預測。其中，Y(X)為回歸預測函數;X為預測日期;a、b為待求系數。線性回歸函數的確定，對任意相鄰2個跳變點來說，前1個跳變點的上1個點與后1個跳變點的上1個點之間認為是線性關系。

3 實例分析

表1 Z4點沉降監測數據

以益陽市中心醫院怡和樓的監測點Z4的監測數據為例進行建模分析，其中，觀測時間以天為單位，且為等時間間隔觀測序列，選用10期沉降觀測值用于建立相應模型并進行預測精度對比。

3.1相關模型的建立

以上述數據作為原始序列，用Matlab軟件編程求得參數a和b，得到各種模型的時間響應式如下。

1)GM(1,1)模型:

2)序列算子作用下的GM(1,1)模型:

圖1 沉降觀測值曲線圖

3)GM(1,1)與線性回歸組合模型測點3、4、6和8為跳變點，而對應的測點1、2、5、7、9和10為非跳變點(見圖1)，對跳變點建立GM(1,1)模型，得到跳變預測模型：

對非跳變點建立一元線性回歸模型，通過擬合得到線性預測方程表達式：

Y=99.614622+0.000029X

3.2預測結果分析

表2 GM(1,1)模型誤差檢驗

對實際累計沉降量進行模擬，誤差檢驗結果如表2、3、4所示。GM(1,1)模型、序列算子作用下的GM(1,1)模型以及GM(1,1)與線性回歸組合模型的平均相對誤差分別為0.00008889%、0.00003947%和0.00005309%，由此可以看出，改進的GM(1,1)模型預測精度均要優與傳統的GM(1,1)模型。這是因為傳統GM(1,1)模型是有偏差的灰指數模型，在沉降觀測的過程中，受到許多外界因素的影響，使得沉降監測的數據存在很大的隨機性和不連續性；序列算子可增強或減弱原始數據序列的增長速度，使得原始數據序列的光滑度加強，從而提高預測的精度；線性回歸組合預測模型采用跳變點和非跳變點對原始序列進行處理，保持了原始數據序列的變化趨勢，因此預測值與實際觀測值的變化趨勢十分相符。

表3 序列算子作用下GM(1,1)模型誤差檢驗

表4 GM(1,1)與線性回歸組合模型誤差檢驗

4 結 語

傳統GM(1,1)模型是有偏差的灰指數模型，存在著模型精度不高的問題，在沉降觀測的過程中，受到許多外界因素的影響，使得沉降監測的數據存在很大的隨機性和不連續性。針對沉降觀測數據存在的缺陷，對3種模型進行了比較分析，其中運用序列算子作用的方法進行建模預測的擬合精度較高，線性回歸組合預測模型則保持了原始數據序列的變化趨勢，預測值與實際觀測值的變化趨勢十分符合。實例分析表明，改進后的GM(1,1)模型可以提高預測精度，將其運用于沉降監測系統后能滿足工程實際要求。

[1]蔣澤中,陳天利.灰色理論在高層建筑沉降監測中的應用[J].建筑技術開發,2003，22(5)：38-41.

[2]鄧聚龍.灰色系統基本方法[M].武漢:華中理工大學出版社,1987.

[3]徐輝,陳又星,費忠華.GM(1,1)模型適用域討論及模型的改進[J].數學的實踐與認識，2008，38(22)：134-139.

[4]劉思峰,黨耀國，方志耕，等.灰色系統理論及其應用[M].北京:科學出版社,1999.

[5]許秀莉,羅鍵.GM(1,1)模型的改進方法及其應用[J].系統工程與電子技術，2002，24(4)：16-18.

[6]史雪榮,王鐘羨.加權均值GM(1,1)模型及應用[J].江蘇大學學報(自然科學版),2003，23(3)：89-91.

[7]鮑一丹,吳燕萍.基于GM(1,1)模型和線性回歸的組合預測新方法[J].系統工程理論與實踐，2004，12(3)：34-39.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.09.042

TU433

A

1673-1409(2012)09-N120-03

2012-06-26

廣西開放實驗室基金項目(桂科能1103108-12) 。

王家幫(1980-)，男，2003年大學畢業，碩士，工程師，現主要從事GPS數據處理及土地勘測定界方面的研究工作。

[編輯] 李啟棟