樹指標馬氏鏈的若干性質

陳曉雪， 李增濤

（江蘇大學理學院，鎮江 212013）

樹指標馬氏鏈的若干性質

陳曉雪， 李增濤

（江蘇大學理學院，鎮江 212013）

主要研究了樹指標馬氏鏈的若干性質，它與一般直線上的馬氏鏈有類似的性質.［關鍵詞］樹指標馬氏鏈；單調類定理；條件概率

1 引 言

設T是一局部有限無窮樹，選擇一個頂點作為根頂點，記為ο頂點.設τ，σ是樹圖T上任意兩個頂點，如果τ處在ο到σ的唯一路徑上，則記為τ≤σ，并記為這個路徑的邊數.對于樹圖上任意兩個頂點σ，τ，記σ∧τ是滿足σ∧τ≤σ，σ∧τ≤τ離ο最遠的頂點.設σ≠ο記是滿足≤σ且＝｜σ｜-1的頂點，即σ是的子代.

定義1［1，2］設T為一樹圖，G＝｛0，1，2，…｝為一可列集合，｛Xσ，σ∈T｝是定義在概率空間（Ω，F，μP）上在G中取值的隨機變量族.設p＝｛p（x），x∈G｝是G上一概率分布，P＝（μP（y｜x））是定義在G2上的隨機矩陣.如果?σ∈T，τi∈T且滿足τi∧σ≤，1≤i≤n，?x，y，x1，…，xn∈G，有

并且μP（Xο＝x）＝p（x），則稱｛Xσ，σ∈T｝為具有初始分布p與轉移矩陣P在G上取值的樹指標馬氏鏈.

容易驗證以上定義的樹指標馬氏鏈定義了一樹圖T上的Markov隨機場.文［3］，［4］P.456分別定義了兩類特殊的有限狀態樹指標馬氏鏈.由以上樹指標馬氏鏈的定義可知，如果每一個頂點的子代只有一個頂點，則樹指標馬氏鏈就是一般的直線上的馬氏鏈.一般直線上的馬氏鏈的性質大家都很熟悉，而樹指標馬氏鏈的類似性質并沒有相關文獻給出，本文由樹指標馬氏鏈的定義并且利用單調類定理證明了樹指標馬氏鏈的一些性質.

2 主要結果

定理1 設T為一樹圖，G＝｛0，1，2，…｝為一可列集合，｛Xσ，σ∈T｝為取值在G上由定義1定義的樹指標馬氏鏈，則?A∈σ（Xτ，σ∧τ≤ˉσ，τ∈T），有

證設xi∈G，τi∈T且τi∧σ≤ˉσ，1≤i≤n，由以上樹指標馬氏鏈的定義，有

應用單調類定理證明［5］：令

證因為樹圖是一連通圖，所以對?t∈T且滿足σ≤t，總能找到相鄰的有限個頂點ti∈T（i＝1，2，…，n）且σ≤ti≤t，即ti是在σ到t的唯一路徑上.這里我們證明時不妨假設σ到t間只有一個頂點t1，其它情形類似可證.設x1，y∈G，于是由條件概率的性質，有

上式第四個等號成立主要是由于定理1的結論而得.所以命題得證.

定理3 設T為一樹圖，G＝｛0，1，2…｝為一可列集合，｛Xσ，σ∈T｝為取值在G上由定義1定義的樹指標馬氏鏈，f是Borel函數，f（Xσ）可積，τi∧σ≤ˉσ，1≤i≤n，y∈G，則

［1］ Benjamini I.Peres Y.Markov chains indexed by trees［J］.Ann Probb，1994，22：219-243.

［2］ 楊衛國，劉文.關于齊次樹指標可列馬氏鏈的若干極限性質［J］.工程數學學報，2004，21（5）：769-773.

［3］ Spitzer F.Markov random fields on an infinite tree［J］.Ann Probab，1975，3：387-398.

［4］ Kemeng J G，Snell J L，Knapp A W.Denumberable markov chains［M］.New York：Springer，1976：456.

［5］ 嚴加安.測度論講義［M］.北京：科學出版社，2004.

Some Properties for Markov Chains Indexed by a Tree

CHEN Xiao-xue， LI Zeng-tao
（Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

We study some properties for Markov chains indexed by a tree.These properties are similar to the general Markov chains.

Markov chains indexed by a tree；monotone class theorem；conditional probability

O211.6

A

1672-1454（2012）03-0076-04

2009-11-16