空間圓的參數方程及其應用羅治國

羅治國

(湖南師范大學數學與計算機科學學院，中國 長沙 410081)

當球面與平面相交時，其交線是圓. 反之，空間的任何圓都可以表示成為一個球面與一個平面的交線. 所以，空間圓的直角坐標方程為[1-3]

或

本文首先利用直角坐標變換給出了空間圓的參數方程，然后給出了空間任意方向圓柱面和圓錐面的參數方程，并用例子說明結論的正確性.

1 空間圓的參數方程

命題1圓心在原點，半徑為r，位于平面

cosαx+cosβy+cosγz=0, cos2α+cos2β+cos2γ=1,cosγ≠1

上的圓的參數方程可以寫為

(1)

圓心在原點、半徑為r、位于平面z=0上的圓的參數方程可以寫為：

x=rcosθ,y=rsinθ,z=0,0≤θ≤2π.

證只需證明命題的前半部分，以平面cosαx+cosβy+cosγz=0作為新坐標系Ox′y′z′的Ox′y′平面作旋轉變換

由于圓心在原點、半徑為r、位于平面Ox′y′上的圓的參數方程可以寫為

x′=rcosθ,y′=rsinθ,z′=0,0≤θ≤2π.

所以，所求圓的參數方程為(1). 證畢.

注簡單計算即知(1)滿足方程

所以，它表示給定條件的圓.

推論1圓心為(x0,y0,z0)，半徑為r，位于平面

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,A2+B2≠0

上的圓的參數方程可以寫為：

圓心為(x0,y0,z0)，半徑為r，位于平面z=z0上的圓的參數方程可以寫為[2]：

x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ,z=z0,0≤θ≤2π.

2 應用

首先，利用上面給出的空間圓的參數方程，容易得到空間任意方向圓柱面的參數方程.

利用上面的方法容易得到

解由題設知圓心在平面y=0上. 可設圓的參數方程為

所以

參考文獻：

[1] 李養成，郭瑞芝.空間解析幾何[M].北京：科學出版社，2004.

[2] 朱鼎勛，陳紹菱.空間解析幾何學[M].北京：北京師范大學出版社，1984.

[3] 王興波.空間任意方向圓柱面的參數方程[J].佛山科學技術學院學報:自然科學版, 2010,28(6):58-63.

[4] 動網論壇.三維空間中圓的參數方程[EB/OL]. http://www.mathchina.net/dvbbs/ dispbbs. asp?boardid=3&Id=471, 2010-09-06.

[5] CSDN論壇.關于空間中圓的方程和參數方程[EB/OL]. http://topic.csdn.net/t/ 20050302/ 15/3818707.html, 2005-03-02.

[6] 百度知道>教育/科學>理工學科>數學, 要求出一個空間圓的參數方程，知道平面方程ax+by+cz+d=0, 知道球的方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2[EB/OL]. http:// zhidao. baidu. com/question/292455694.html, 2011-07-14.

[7] 數學中國.知道圓心和半徑以及法向量，空間圓參數方程怎么得到[EB/OL]. http://bbs. mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=4&topic=1744&show=100, 2010-01-20.

[8] 百度知道>電腦/網絡>百度. 空間圓的參數方程，要求所在平面為空間內任意平面[EB/OL].http://zhidao.baidu.com/question/213093435.html?pt=360se.?zid=10081, 2011-01- 06.

[9] 李養成.空間解析幾何[M].北京：科學出版社，2007.