KdV方程的雙Wronskian解研究艾玉波

艾玉波

(連云港師范高等專科學校 數學與應用數學系,中國 連云港 222006)

孤立子理論是應用數學和數學物理的一個重要組成部分，近幾十年受到國際數學界和物理界的普遍重視．孤立子往往也稱為孤立波[1]，它是指一大類非線性偏微分方程的具有特殊性質的解，及與之相應的物理現象．隨著研究的深入，大批具有孤立子解的非線性波動方程在各個領域不斷被揭示，尋求孤子方程的精確解以及討論解的性質成為孤立子方程研究中的重大課題．

1 修正KdV方程Hirota形式的n孤子解

于是雙孤子解為

再根據截斷式的求解方法，令：

修正KdV方程的n孤子解為

2 修正KdV方程雙Wronskian形式的有理解

為了能夠求解KdV方程的雙Wronskian解，首先要計算等譜AKNS方程族中的三階AKNS方程[5-7]．

根據等譜AKNS方程組

將推算因子L代入方程組得

對方程組進行等譜變換為

gtf-gft+gxxxf-3gxxfx+3gxfxx-gfxxx=0.

利用多項式解對導數方程進行分解得到

因此原雙Wronskian行列式的有理解為

3 修正KdV方程的雙Wronskian解[8-11]

利用線性導數方程求上述導數方程得有理解，本文不再贅述，由于借助系數矩陣的正定表達式化簡了修正KdV方程組的一階常微分方程，因此對于改進的KdV方程的雙Wronskian解可以不考慮復特征根的情況，從而只計算其有理解．

當N=0時，對于實根導數方程可以得到

則g與f的商為修正KdV方程的單孤子解．

當N=1時，實根導數方程有：

φ1=c0e4λ3t-λx,φ2=c0(-x+12λ2t+1)e4λ3t-λx,

φ1=d0e-4λ3t+λx,φ2=d0(x-12λ2t+1)e-4λ3t+λx,

g= 8c0d03(-24λ4t+ 2λ2x-λ)e-8λ3t + 2λx+ 8c03d0(-24λ4t+λ2x+λ)e8λ3t-2λx.

則g與f的商為修正KdV方程的雙孤子解．

4 KdV-mKdV混合方程的雙線性形式及其孤子解

命ut+6uux+6u2ux+uxxx=0為KdV-mKdV混合方程[12]．

函數f(t,x)與g(t,x)的雙線性導數定義為

對上述作變換

其中ω*是復函數ω的共扼函數;α取任意常數．

將變換代入ut+6uux+6u2ux+uxxx=0，則KdV-mKdV混合方程變為

故方程的雙線性導數方程為

5 結論

本文研究了修正KdV方程Hirota形式的n孤子解，給出了修正KdV方程雙Wronskian形式的有理解及修正KdV方程的Wronskian解.利用雙線性導數法所給出的修正KdV方程的n孤子解是一個復雜的和式，將它代入方程驗證，利用線性導數方程的列向量計算了修正KdV方程的雙Wronskian解．

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