鐵路軌道曲線正矢計算新方法研究

馬文靜

(中鐵工程設計咨詢集團有限公司，北京 100055)

1 概述

列車行車對鐵路曲線的圓順性有著較高的要求，特別是行車速度較快時，不圓順的鐵路曲線將造成行車質量下滑，降低乘坐舒適性，增加輪軌磨耗等一系列問題，嚴重的還會影響到行車安全。因此，鐵路曲線的圓順性管理從來都是鐵路運營管理的一項重要內容。曲線正矢是評價曲線是否圓順的量化指標，在實際工作場合被廣泛應用，針對不同的曲線半徑有著非常細致的具體規定［1］。傳統的鐵路曲線正矢管理常以漸伸線原理為計算基礎，以10m或20m弦長測量為實施手段，具有計算比較簡單，易于手工計算的優點［2－3］。然而，隨著鐵路軌道測量方法的進步，偏角法、矢距法等傳統曲線測量方法讓位于軌道坐標測量法，因此需要一種基于軌道坐標、穩定可靠且能計算任意弦長的曲線正矢計算方法，實現軌道測量的內外業一體化。

2 曲線正矢計算的嚴密模型

鐵路線路的線形由直線、緩和曲線、圓曲線三種要素構成，當計算正矢的弦線的兩端都處于同一種線形時，則分析起來較為簡單:直線上的正矢為零;圓曲線上的正矢為一常數，且正矢值是圓曲線半徑及弦長的函數;緩和曲線上的正矢為漸變量，其值跟弦線在緩和曲線上所處的位置有關，且也存在以漸伸線原理為基礎的簡單公式用于計算。但是當弦線兩端跨越不同的線形時，情況則較為復雜。為了將上述所有情況進行統一考慮，有必要建立適應各種情況的曲線正矢計算的嚴密數學模型。

圖1 曲線正矢示意

在給定弦長S的情況下，求曲線上P點的正矢，則其幾何關系如圖1所示。

弦線的兩端點P1及P2在曲線上，弦線的中點P0與P的連線垂直于弦線，且P1與P2之間的距離為S，則P－P0的長度即為要求的正矢。假設已知P點的坐標及里程分別為(XP，YP)及 LP，P0、P1、P2三點的坐標分別為(X0，Y0)、(X1，Y1)及(X2，Y2)，則有如下數學關系

式(1)中，f1及f2分別表示P1及P2所處曲線的函數關系，當P1及P2處于同一段曲線時，f1與f2相同，當P1及P2處于不同曲線時，f1與f2不同，由此建立起適用于所有情況的正矢計算模型。需要引起注意的是，式(1)是基于大地坐標系建立的方程組，而緩和曲線通常是基于獨立坐標系并以參數方程［4］的形式給出，因此還需要針對緩和曲線建立獨立坐標系到大地坐標間的轉換關系。

式(2)為緩和曲線的參數方程形式，(x，y)表示獨立坐標系下緩和曲線上某點的坐標，設(X，Y)是該點在大地坐標系下的坐標，則兩者之間可建立如下的轉換關系［5］

式(3)中ΔX、ΔY為平移參數，也即為緩和曲線起點在大地坐標系中的坐標，ε為旋轉角，可根據已知的線路設計平曲線參數求得，由于緩和曲線獨立坐標系與大地坐標系的尺度相同，因此轉換關系中不存在尺度因子。

在建立曲線正矢的數學模型后，剩下的工作即為解算由式(1)～(3)組成的方程組。仔細觀測上述方程組可知，未知數實際上只有四個，分別是P1及P2的大地坐標。式(1)本質上為包含四個未知數的高次多元非線性方程組，可采用全微分線性化降次并組成線形方程組的方法求解［6］，其解算步驟如下:

①以P點的里程LP為中心，結合線路設計曲線，分別判斷LP－S/2及LP+S/2里程處于的曲線線形，從而確定f1及f2的表達形式;同時計算LP－S/2及LP+S/2里程處的線路大地坐標，作為弦線端點P1及P2的近似坐標。

②以P1及P2的大地坐標為未知參數，對式(1)進行全微分線性化并組成誤差方程組。在緩和曲線段當顧及到式(2)及式(3)的情況下，方程組將變得較為復雜，使得人工進行線性化工作非常困難，此時可采用matlab符號計算完成本步驟。

③以步驟1求得的P1及P2的坐標為近似值，帶入步驟2求得的誤差方程組，解線性方程組。由于存在四個相互獨立的條件，因此剛好可以解除四個未知數。將求得的結果作為輸入值再次帶入誤差方程組進行計算，直到兩次結果之差滿足事先給定的閾值，則結束迭代計算過程。

通過上述步驟解出P1及P2的坐標后，即可采用簡單的的線段分中公式求得P0的坐標，進而采用距離公式求得P－P0的長度，也即正矢值。

3 曲線正矢計算新方法

上述曲線正矢計算的嚴密模型雖然能夠用于求解任意弦長的正矢值，然而其計算過程太過復雜繁瑣，在某些情況甚至會發生迭代計算不收斂的情形，嚴重影響計算機自動化解算正矢的穩定性與可靠性，因此有必要發展一種數值計算穩定且計算精度滿足要求的新方法。分析正矢計算嚴密模型的解算步驟可知，在迭代計算過程中需要用到弦線兩端點的近似坐標作為初值，也即在迭代計算之前，已經獲得了一條近似的弦線。考慮到給定的弦長通常遠小于設計曲線半徑，因此可以通過逐步逼近弦長的方式來解算弦線的兩端點坐標，具體步驟如下:

①以P點的里程LP為中心，結合線路設計曲線，分別計算LP－S/2及LP+S/2里程處的端點P'1及P'2的線路大地坐標，作為弦線端點P1及P2的近似坐標。根據里程求坐標，需要區分里程點處于直線、緩和曲線、圓曲線三種情況，其中直線及圓曲線兩種情況可直接在大地坐標系下依據相應的直線方程及圓方程求解，緩和曲線的情況需要借助式(2)及式(3)，先求得獨立坐標系下的坐標，再通過坐標轉換來完成。

②計算P'1及P'2兩點間的距離S'，計算S'與給定弦長S的差值，并對第一步中用于計算近似端點坐標的里程進行修正，修正按照下式進行

根據式(4)中的L'1及L'2，重新計算弦線近似端點P'1及P'2的大地坐標，然后再次計算近似弦長及其與給定弦長S的差值，如果差值大于某一給定的閾值，則重復上述的里程修正及坐標計算過程，直到計算弦長與給定弦長的差值小于閾值，則結束迭代過程。

③由已知弦線的兩端點坐標，計算該弦線的中點坐標，然后應用距離公式計算中點坐標與P點的距離，該距離即為正矢值。

由上述計算步驟可見，正矢計算新方法完全基于坐標建模，不涉及漸伸線等復雜概念，以弦線長度作為逼近準則，能夠實現任意弦長的正矢值計算，沒有復雜的計算過程，數值計算穩定可靠，在應用計算機進行正矢的自動化計算過程中具有顯著優勢。

4 算例分析

為驗證本文提出的正矢計算新方法，選取某客運專線右線的一段設計平曲線數據進行分析。該段數據共包含四條曲線，曲線總長約8 315m，曲線半徑各不相同，其中左偏曲線兩條，右偏曲線兩條，具體情況如表1所示。

表1 試驗段曲線情況統計 m

基于上述數據，以300m為弦長，以2.5m為里程，以1 mm為弦長逼近閾值，采用新方法從每條曲線的起點開始逐點計算正矢值。經計算得到的弦線長度與給定弦長的差值及θ角(見圖1)與π/2的差值的分布情況如圖2所示。

圖2 新方法所得之弦長差值及角度差值的分布如

其中Δθ按下式計算:

圖2中數據按照表1給定的順序排列。由“逼近弦長與給定弦長的差值”可知，在圓曲線段，弦長的逼近效果非常好，且曲線半徑越大，逼近效果越好(如第四條圓曲線所示之1000～1 500點之間)，在400點位置附近有一個凸起，這是由于第二條曲線的圓曲線部分太短且不足300m，導致弦線至少有一段總是處于緩和曲線上，從而對逼近效果造成了影響;另一方面，在三次迭代以內，即使是緩和曲線段的弦線也能將長度差值控制在給定閾值1 mm以內，即圖中所示的尖峰部分。同時，由“弦長逼近方法的角度差值”可知，緩和曲線段的θ角與π/2存在差異，且曲線半徑越小，差異越大(如第一條曲線所示之50點及250點附近，角度差值達到最大約0.33°);在波谷所示之圓曲線段，θ角則與π/2非常接近，但是從總體上看，Δθ的值并不大，這表明弦線與正式的垂直關系良好。

同時，按照正式計算的嚴密模型，解算相同里程點處的正矢，得到的正矢值及兩種方法所得正矢值的差值的分布情況如圖3所示。

圖3 300m弦正矢及兩種方法正矢差值分布

由圖3之“300m弦曲線正矢”可知，隨著半徑的增大，每條曲線的正矢最大值逐步減小，且對每一條曲線而言，正矢值從緩和曲線起點開始逐步增加，在圓曲線段達到最大值且保持為一個常數，然后經由緩和曲線段逐步減小，因此從圖中可明顯看出四條曲線的正矢值的分布情況;“兩種算法所得正矢值之差”則表明了嚴密方法與新方法所求得的正矢值的差異，從分布看這種差異非常小，最大值也僅為0.5 mm左右，而相對于約8m的正矢值，相對誤差完全可以忽略不計，且這種差異還會隨著曲線半徑的增大而急劇減小。

經上述分析可見，在不同的曲線半徑特別是小曲線半徑的情況下，采用新方法計算得到的300m弦長正矢值，與采用嚴密方法得到的正矢值間不存在顯著差異，從應用的角度看可以視為等同;且弦長逼近的精度良好，正矢與弦線的垂直關系也良好，表明由新方法得到的弦線位置也是正確的。另一方面，文中僅就300m弦長的情況進行了數值分析，對于弦長小于300m的情況，兩種方法間的數值差異將會更小，因此不再贅述。

5 結束語

在分析了計算曲線正矢的嚴密模型的基礎上，提出了一種基于弦長逼近的曲線正矢計算新方法，并通過數值分析表明，兩種方法的數值計算結果從應用的角度看不存在顯著差異，可以認為是一致的。另一方面，新方法模型簡單，計算簡便，數值計算的穩定性及可靠性均較嚴密模型顯著提高，非常適合計算機自動化處理。在鐵路建設及運營管理中，軌道的平順性管理是非常重要的一環，而曲線的任意弦長正矢計算則是平順性管理的首要任務與基礎。

［1］鐵運［2006］146號 鐵路線路修理規則［S］．北京:中國鐵道出版社，2006

［2］鐵道部第二勘察設計院．鐵路測量手冊［M］．北京:中國鐵道出版社，1998

［3］廉永勝．曲線正矢、負矢的計算［J］．通化師院學報(自然科學)，1997(4):32－36

［4］王兆祥．鐵道工程測量［M］．北京:中國鐵道出版社，1998

［5］張正祿．工程測量學［M］．武漢:武漢大學出版社，2005

［6］朱方生，李大美，李素貞．計算方法［M］．武漢:武漢大學出版社，2003