地下空區(qū)頂板改進(jìn)梁模型的彈塑性分析

江學(xué)良，曹平，楊慧

（1.中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 長沙，410004；2.湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，湖南 益陽，413000；3.中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長沙，410083）

地下空區(qū)分為2類：一類是由于自然原因形成的，如溶洞；另一類是由于人類活動在地表以下留下的各種形態(tài)、規(guī)模和不同分布的空洞（如礦產(chǎn)采掘、隧道開挖和地下廠房等）。地下采空區(qū)是第二類地下空區(qū)的典型代表。確定頂板安全厚度的方法主要有：半定量方法[1?2]、有限元法[3?6]、極限分析法[7]、數(shù)值流形方法[8]、拉格朗日法[9]和模型預(yù)測方法[10?11]等。數(shù)值分析方法可模擬復(fù)雜的邊界條件，且能分析地下洞室頂板應(yīng)力與變形的具體情況，引入到頂板安全厚度的研究是一個較好的研究思路，但是較復(fù)雜，不易于工程人員掌握。所以，目前確定地下洞室頂板安全厚度的方法基本還是采用傳統(tǒng)半定量分析方法。將地下空區(qū)簡化成簡支梁或固端梁模型屬于半定量方法中的一種，在實際工程中應(yīng)用較多，具有方便、快速、簡單的特點，但是這種模型沒有考慮水平應(yīng)力與巖體裂隙密度的影響[12]，為此，江學(xué)良等[12]建立改進(jìn)梁模型（圖 1）來考慮其影響，但是，該改進(jìn)梁模型是建立在彈性介質(zhì)的前提下，沒有考慮巖石實質(zhì)上是一種彈塑性材料，本研究將巖石視為理想彈塑性介質(zhì)，分析巖體彈塑性本構(gòu)關(guān)系對改進(jìn)梁模型的影響。

圖1 改進(jìn)簡支梁模型Fig.1 Modified simply-supported beam model

1 改進(jìn)梁模型的彈塑性分析

1.1 廣義彎矩?曲率?軸力關(guān)系

巖石材料是一種很典型的彈塑性材料，而且其拉伸屈服壓力與壓縮屈服壓力存在較大的差異，如圖 2所示。為簡化起見，將巖石材料視為理想彈塑性材料，研究巖石本構(gòu)關(guān)系對模型的影響。軸力以拉為正,變形后截面仍保持平面。記無量綱量：

式中：Ny為屈服壓力；My為與Ny對應(yīng)的彎矩；φy為相應(yīng)曲率；εy為屈服應(yīng)變。下面按照圖3的4種不同狀態(tài)，可以得到 m -φ- n 的關(guān)系[13?14]。

圖2 不同的受拉與受壓強度Fig.2 Different strength of tension and compression

圖3 不同狀態(tài)的截面應(yīng)變分布Fig.3 Strain distribution of cross sections

（1）彈性狀態(tài)（φ≤φet和φ≤φec）：

（2）拉伸屈服狀態(tài)（φet＜φec和φet＜φ＜φtc）：

（3）壓縮屈服狀態(tài)（φec＜φet和φec＜φ＜φct）：

（4）拉壓屈服并存狀態(tài)（φtc＜φ或φct＜φ）：

邊界曲率為：

比較2個初始屈服曲率φet和φec：先產(chǎn)生拉伸屈服；先產(chǎn)生壓縮屈服。利用這個關(guān)系，式（6）可簡化為：

于是，可以簡化成以下3種狀態(tài)。

（1）彈性狀態(tài)（φ＜1φ）：

（2）拉伸或壓縮屈服狀態(tài)（初期塑性狀態(tài)，φ1＜ φ＜φ2）：

（3）拉壓屈服并存狀態(tài)（后期塑性狀態(tài)，φ2＜ φ）：

由式（8）～（10）可知：當(dāng)彎矩m較小，φ＜1φ時，截面處于彈性狀態(tài)，由式（8）控制。彎矩增加會引起φ增加，當(dāng)φ=1φ時，一邊的邊緣纖維開始屈服。若軸向力中壓力較大，n ＜（ 1 - μ）/ 2，則受壓纖維首先屈服。如果軸向力是拉力較大，n＞（μ- 1 ）/2，則受拉纖維首先屈服，此時為初期屈服特征，由式（9）控制；當(dāng)曲率繼續(xù)增加至φ=φ2時，則另一邊的纖維也開始屈服，此時為后期屈服特征，由式（10）控制。對于巖石材料，假設(shè)其為無抗拉強度的理想彈塑性材料（μ=0），代入式（7）～（10）得到地下巖石洞室頂板的m-n-φ曲線（圖4）。若軸力為正（p＞0），截面無抗拉強度，當(dāng)軸力為壓力時，p＝?1/2時，有最大值mpc＝3/4。如圖4所示。平面m-φ由虛線分為 3種狀態(tài)：彈性狀態(tài)、初期塑性狀態(tài)和后期塑性狀態(tài)。對于不同的泊松比μ，同樣可以得到不同的相關(guān)圖形。

圖4 地下巖石洞室頂板m?φ/yφ關(guān)系Fig.4 m?φ/yφ curves of roof for underground cavern

1.2 模型最大承載力近似解法

為了估算模型的最大承載力，常將撓曲線假設(shè)成便于計算的形式，撓曲線不必滿足所有的邊界條件，近似解的精度取決于假設(shè)撓曲線的精度。考察長度為l的模型，兩端承受相同的彎矩M0以及軸向壓力N（以下分析中以受壓為正），并作用有均布側(cè)向荷載q，如圖5所示。并假設(shè)截面符合式（8）～（10）的m?φ?n關(guān)系。假設(shè)模型的撓曲線為正弦半波函數(shù)[14]：

wm為跨中最大撓度。該撓曲線滿足幾何邊界條件：

但不滿足靜力邊界：

圖5 作用端彎矩水平力及側(cè)向均布荷載的模型Fig.5 Roof model acted end moment,horizontal force and lateral uniform load

跨中曲率為：

跨中外彎矩為：

由式（15）和（16）得到無量綱彎矩m與曲率φm的關(guān)系為：

要求解最大承載力，將式（18）對mφ求導(dǎo)，并令求出mφ：

當(dāng)mφ≤1φ時，無解，除非這說明在該狀態(tài)下，最大承載力由軸向壓力使模型產(chǎn)生彈性失穩(wěn)，而不是由截面的過量塑性屈服引起的。

將式（19）代入式（18）得到：

2 巖體裂隙影響

江學(xué)良等[12]得到了巖體裂隙影響下等效彈性模量（E）、泊松比（v）與初始彈性模量（E0）和泊松比（v0）的關(guān)系：

式中：χ為巖體裂隙密度。當(dāng)需要考慮巖體裂隙影響時，利用式（21）和式（22）將等效彈性模量代入計算即可。

3 算例分析

對于甕福磷礦穿巖礦段由于某些原因，地下開采要轉(zhuǎn)為露天開采，在露采過程中，巖體被一層層剝離，原來的地下采空區(qū)頂板越來越薄，頂板的穩(wěn)定是一個十分重要的問題。地下采空區(qū)頂板基本假設(shè)如下：

（1）地下空區(qū)的圍巖是均質(zhì)的，各向同性的。

（2）地下空區(qū)充填物的力學(xué)指標(biāo)與巖體力學(xué)指標(biāo)相比很低，對受力分析影響很小，充填物僅作為安全儲備。

（3）假定采空區(qū)形狀為矩形。

頂板的計算模型可以根據(jù)實際工程條件視為改進(jìn)簡支梁模型和改進(jìn)固支梁模型。下面以改進(jìn)簡支梁為例（式（20）中 m0=0），研究頂板在軸力與橫向荷載作用下的最大彈塑性承載力。

根據(jù)試驗結(jié)果，取 μ=0.25，E=1.2 GPa，σy=40 MPa，將計算參數(shù)代入式（11），（17）和（20）得到橫向荷載與軸力的相關(guān)曲線。圖6所示為頂板梁模型最大承載力的橫向荷載與軸力的各類組合圖，要求解頂板的最大承載力可以在圖中查找相應(yīng)的（n,）即可。從圖6可知：在橫向荷載q一定的情況下，隨著頂板跨度與厚度比值（L/h）的減小，軸向力n=N/Ny增加；在軸向力一定的情況下，隨著頂板跨度與厚度比值（L/h）的減小，橫向荷載=q/qy增大。這與實際工程中，隨著頂板厚度的增加，頂板的承載力增加是一致的。圖6所示為L/h=3，5和8時橫向荷載與軸力的相關(guān)曲線，對于L/h為其他值時，同樣可以得到相關(guān)曲線。得到相關(guān)曲線后，針對實際工程，查相關(guān)曲線圖即可得到相應(yīng)的橫向荷載、軸力或者頂板的跨高比。

圖6 橫向荷載n與軸力相關(guān)曲線Fig.6 Curve between lateral load and axial force

4 結(jié)論與建議

（1）建立了理想彈塑性材料的廣義彎矩?曲率?軸力關(guān)系，采用假設(shè)撓曲線的近似方法求解模型的最大承載力，得到最大承載力的彎矩－軸力－橫向荷載的相關(guān)方程。

（2）得到考慮巖體裂隙密度影響時等效彈性模型與初始彈性模型的關(guān)系，計算分析時采用等效彈性模量即可。

（3）以甕福磷礦穿巖礦段地下空區(qū)頂板為例計算得到了橫向荷載與軸力的相關(guān)曲線，針對具體工程，查相關(guān)曲線圖即可得到相應(yīng)的橫向荷載、軸力或者頂板的跨高比。這為計算頂板厚度提供了一種方法，也可以用來校核數(shù)值計算結(jié)果的有效性。

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