小波包濾波在齒輪故障診斷中的應用

周翔 侯立剛 蘇成利 肖炎良 張勇

(遼寧石油化工大學信息與控制工程學院，遼寧 撫順 113001)

0 引言

齒輪是目前應用最為廣泛的傳動形式之一。齒輪在高強度的運作下會出現損傷，如斷齒、磨損和剝落等。對齒輪故障進行研究，有助于提高設備的整體運行效率。

時頻分析方法在齒輪故障診斷中比較常見，但診斷類型比較單一，針對性強［1］。多數據融合的方法是今后齒輪傳動故障診斷的主要發展方向［2］。徑向基函數(radial basis function，RBF)神經網絡方法可進行齒輪故障診斷［3］。自適應小波神經網絡(wavelet neural network，WNN)方法解決了用二進制尺度信號作為網絡輸入而故障特征信息可能恰好不在選用的二進制尺度上的問題［4］。小波包特征熵支持向量機故障診斷方法解決了建立故障類型識別模型難的問題［5］。但齒輪故障診斷還有許多要改進的地方，如時頻分析方法對故障診斷的單一性和模糊性、網絡訓練的波動性、網絡輸入特征信號的準確性(信噪比低)等。

本文采用改進閾值函數的方法(一種小波包濾波方法)消除神經網絡輸入信號中的噪聲，同時保留故障中所包含的特征信號，從而提高神經網絡輸入信號的信噪比。同時，對改進閾值函數的可行性進行了推導，結果表明改進后的系統能更加快速、準確地對多種齒輪故障進行判別。

1 小波包去噪

1.1 小波包分析

小波包分析的基本思想是把信號的高頻和低頻部分同時投影到由一組互相正交的小波函數構成的子空間上，使信號在不同尺度上展開，從而提取信號在不同頻帶上的特征，同時保留信號在各尺度上的時域特征。小波包分析是多分辨率分析的深化，有利于更好地提取特征信號。

尺度函數和小波函數的尺度關系如式(1)所示［6］:

式中:μ0(x)為尺度函數;μ1(x)為小波函數;h(k)、g(k)為由小波函數確定的兩列共軛濾波器系數。

μ2l(x)、μ2l+1(x)分別定義為:

則 μn(x)(n=2l或 2l+1，l=0，1，…)即為關于正交尺度函數μ0(x)的小波包。

1.2 小波包分解與重構

將小波包與多分辨率相結合，再與歸一化系數相乘，便可得到小波包分解公式，即:

最終信號在尺度j=J上進行分解的序列為{c2J－1，c2J－1+1，…，c2J}。

對二進制小波進行離散變換，可得:

式中:H、G 為矩陣，H=(Hn，k)，G=(Gn，k)，其中，Hn，k=hk－2n，Gn，k=gk－2n。

信號的重構算法為:

式中:矩陣H*、G*為H、G的對偶算子。通過分解后的序列，可以逐步恢復出原始信號。

1.3 小波包去噪原理和步驟

定義 設n為正整數，若存在常數A＞0和n次多項式Pn(x)，有:

則稱f(x)在點x0處為Lipα。如果在區間(a，b)上存在常數A，對任意 x(x0∈(a，b))，有 n次多項式Pn(x)滿足式(6)，則稱 f(x)在區間(a，b)上一致Lipα。在 x=x0處，當 α≠1，即 Lipα 不為 Lip1 時，f(x)在x0處是奇異的;若f(x)在x0處有界但不連續，則Lip的指數為0，其指數越大，f(x)越光滑。

對于噪聲而言，小波變換在不同尺度下高度不相關，近似于處處奇異，其Lip指數為負，奇異性小于0。在小波變換下，噪聲的平均幅值和尺度因子2j成反比關系，即噪聲能量隨尺度增大而減小。因此，通過改變小波尺度能夠減小噪聲。

小波包去噪的基本思想就是對小波包分解后的各層系數分別進行處理。通常有兩種途徑:一是已知所關心的頻率成分，進行小波包分解時，保留所關心的頻帶的小波變換結果，將其他變換結果清0;二是已知噪聲的頻帶范圍，將小波變換后的噪聲所在頻帶的小波包系數清0，然后再利用處理后的小波包系數重構出消噪后的信號。利用小波包進行消噪的基本步驟為:①利用小波包對輸入信號進行分解;②確定最優的小波包基;③對小波包分解的系數進行閾值量化處理;④利用小波包分解系數和量化系數進行小波包重構。

1.4 改進閾值算法

本文選取一種新的閾值算法，克服了軟閾值和硬閾值算法的缺陷，使其具有更強的彈性和適用性。閾值改進算法為［7］:

式中:α為階次調節因子，α≥0，利用α可使構造的新函數的取值處于軟、硬閾值函數之間;β為振蕩調節因子，0≤β≤1，其影響信號的信噪比，該值越大，信號失真越嚴重，振蕩越小。下面對改進閾值算法的連續性、可導性和收斂性進行分析。

1.4.1 連續性分析

設閾值函數為f(x)，則有:

當x=λ時，可得:

根據實際情況可知λ≥0，所以可以對式(9)繼續進行化簡，結果為:

此時選取β=1，可得:

所以，f(x)在x=λ處是連續的。

1.4.2 可導性分析

當x＞0時，sign(x)=1，因此f(x)可以化簡為:

對x求偏導可得:

當x=0時，sign(x)=1，α取值為0，此時不能直接用求導公式求解，可利用導數定義求解，即:

當 x＜0時，f'(x)=f(x)=0。

所以，f(x)是可導的。

1.4.3 收斂性分析

當x≥0時，有:

當x＜0時，f(x)=0，所以f(x)在無窮處是收斂的，且f(x)是連續函數。因此，f(x)在整個區間內是收斂的。

2 網絡構造及其優化

本文采用三層緊致型小波神經網絡［8］，小波基函數選取molet小波，輸出函數選取sigmoid函數，即:

小波神經網絡的輸出為:

式中:xi為輸入層第i個輸入分量;yk為輸出層的第k個輸出分量;n、k、s分別為輸入層、輸出層和隱層的神經元個數;ωji為輸入層第i個神經元到隱層的第j個神經元的連接權;ωkj為隱層第j個神經元到輸出層第k個神經元的連接權。小波神經網絡的目標函數為:

式中:tk為期望值。訓練算法采用梯度下降法。本文在參數優化方面作了進一步改進，以對ωkj的優化為例，優化內容如下:

式中:β為遺忘因子;η為各個參數的學習速率;α(0＜α＜1)為各個參數的動量因子。其中，學習速率η取值如下:

與以前的優化相比，改進后的參數優化法添加了遺忘因子β，它能使要優化的參數更加平穩，避免了優化后的參數出現太大波動。

3 仿真

仿真中用到的數據集是通過試驗獲得的。試驗中，在軸承底座安裝加速度傳感器，滾動軸承帶動齒輪運轉，產生振動信號。滾動軸承的轉速為1500 r/min。

本文選取db4小波，分解層數為3，并依據最小shannon熵準則選取最優小波包基;設置閾值時，取α=2.9、β=0.8。

小波包去噪前后的仿真結果如圖1所示。由圖1可以看出，含噪信號中的噪聲部分已經被很好地去除，信號特征保持完整。

圖1 小波包去噪前后的仿真結果Fig.1 Simulation results of before and after wavelet packet de-nosing

網絡的訓練樣本從試驗數據中選取，共選取15組樣本，分成3種模式，其中每種模式的最后一組樣本(共3組)用來進行檢驗。然后對數據作進一步處理，即提取信號特征向量并對其進行規范化處理，將其變化到［0，1］的范圍，小波包特征向量歸一化處理公式為:

式中:P和Pn分別為歸一化前后小波包特征向量;小波神經網絡中的小波基函數為molet小波函數;Pnmean和Pstd分別為molet小波特征向量P的均值和方差。

齒輪的振動特征參數選擇為［9－10］:峰值因子、峭度指標、脈沖指標、裕度指標、一-二階嚙合頻率比、一-二階旋轉頻率比、一-三階嚙合頻率比和一-三階旋轉頻率比共8個參數。齒輪故障診斷明細如表1、表2所示。

表1 齒輪斷齒明細表Tab.1 The details of broken teeth for gears

表2 齒輪偏心明細表Tab.2 The details of eccentric gears

小波神經網絡的隱層節點數選取為36，優化中的遺忘因子β選取為0.6，學習速率η為0.835，目標誤差設為0.01。信號經去噪后的改進小波神經網絡故障診斷的誤差曲線如圖2所示。

圖2 信號去噪后的改進WNN誤差曲線Fig.2 The error curve of improved WNN after signal de-noising

為了表明經過信號去噪后的改進型小波神經網絡能更快更準確地確定齒輪故障，對去噪后的BP神經網絡和去噪前的改進小波神經網絡進行了對比，誤差曲線如圖3和圖4所示。

由圖2和圖3可以看出:信號經過去噪后的改進小波神經網絡大約只要470步就能使目標達到要求;BP神經網絡大約需要1500步才能達到目標要求，訓練的起始誤差較大且有一定程度的起始波動。即圖2和圖3對比說明了信號去噪后經過小波神經網絡比經BP神經網絡訓練速度更快、更穩定。而信號未處理的改進小波神經網絡則大約需要800步才能達到目標要求，達到要求后繼續訓練則會出現波動，即圖2和圖4的比較說明信號通過濾波處理后的小波神經網絡運算更快更準確且不會產生波動。因此，可以得出，信號去噪后作為網絡輸入數據的改進小波神經網絡能快速且穩定地判斷齒輪故障。檢驗樣本的期望輸出和實際輸出如表3、表4所示。

表3 檢驗樣本的期望輸出Tab.3 The expected output of inspection samples

表4 檢驗樣本的實際輸出Tab.4 The actual output of inspection samples

表3和表4的輸出結果顯示，實際輸出與期望值大致吻合，完全在誤差范圍之內，進一步證明了該方法的可行性和有效性。

4 結束語

采用小波包分析方法對齒輪的振動信號進行消噪預處理，有效地消除了信號當中的干擾成分，提高了信噪比。改進小波神經網絡在齒輪故障診斷中起著故障分類的作用，且改進小波神經網絡的訓練過程比較穩定，訓練速度也更快。通過仿真發現，該方法用于齒輪故障診斷是有效可行的，診斷準確率較高，滿足對齒輪故障診斷的技術要求。

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