一種精簡化的球桿系統控制器建模方法

鐘秉翔 高國芳

(重慶科技學院電氣與信息工程學院，重慶 401331)

0 引言

在實際生活或工程實踐中，一個熟練的操作人員憑借豐富的生活經驗或實踐經驗，可以非常嫻熟、巧妙地控制一個復雜過程，并得到滿意的控制效果。能否采用自動控制的機器來代替人的行為，以及如何通過功能模擬實現這些有效的控制行為等關于人的控制行為功能模擬的智能控制器設計問題，均屬于智能系統辨識或建模問題。眾所周知，實現專家控制系統的前提是必須要有有效的專家經驗知識;而模糊控制的設計必須依據人類直接控制被控對象的成功經驗，沒有這類經驗，模糊規則將無法設計。

理論研究表明，基于神經網絡、自適應模糊系統的控制系統具有一定的學習能力，能夠更好地適應環境和系統特性的變化，適合不確定復雜系統的建模與控制。然而，隨著問題復雜性的增加，計算機控制系統在執行數值運算時需要的時間呈指數增長，計算量呈指數增長，易出現維度災難［1－3］。分析國內外關于模糊系統、神經控制器和支持向量機模型精簡化研究的現狀發現，這些系統都局限于模型內部結構的優化［4－6］。

本文針對控制器變量眾多、易出現維度災難、系統復雜性增加等問題，以球桿系統作為研究對象，設計了精簡化的球桿系統控制器模型。通過尋找輸入空間的主要特征變量，剔除次要因素，精簡輸入空間維數，減少控制系統數學模型復雜性;同時采用核函數方法和虛假最近鄰點法，實施智能控制器模型的非線性回歸建模，實現球桿系統的自動控制。

1 理論基礎

本文從輸入空間維數的精簡和優化角度考慮，運用虛假最近鄰點法(faulse nearest neighbor point algorithm，FNN)確定輸入向量嵌入維數，再通過核主元分析法(kernel principal component analysis，KPCA)提取特征值，實現了對非線性輔助變量空間的特征提取。

1.1 虛假鄰點法

虛假鄰點法的基本思想是當維數從m變成(m+1)時，考察軌線x的鄰點中的真實鄰點和虛假鄰點［7］。當沒有虛假的鄰點時，可以認為吸引子的幾何結構被完全展開。設xβ(n)為xn的最近鄰點，它們之間的距離為‖xβ(n)－xn‖(m)，當維數增加到 m+1時，它們之間的距離為‖xβ(n)－ xn‖(m+1)。若‖xβ(n)－ xn‖(m+1)比‖xβ(n)－xn‖(m)大很多，可以認為這樣的鄰點是虛假的。因此，若式(1)成立，則稱xβ(n)為xn的虛假鄰點，其中，Rt為閾值。

試驗證明，Rt可在［10，50］之間選取。對于無限長的精確數據，采用上述標準可獲得較好的結果。對于有限長具有噪聲的數據，則補充以下標準，若:

則稱 xβ(n)為xn的虛假鄰點，At為閾值。文獻［8］建議取At=2。

對實測時間序列，m從2開始，計算虛假最近鄰點的比例，直到虛假最近鄰點的比例小于5%。當虛假最近鄰點不再隨著m的增加而減少時，可認為吸引子的幾何結構完全打開，此時的m即為嵌入維數。

1.2 核函數主元分析的基本原理

核主成分分析(KPCA)法利用核映射的原理，將原始空間的數據映射到高維特征空間，在特征空間中再對數據進行線性主元分析(principal component analysis，PCA)分析(對應于原始空間的非線性運算)［8－11］。因此，它實現了樣本空間的非線性特征提取，具體的算法實現過程如下。

設X為原始空間Rn×l中的樣本數據，n為變量維數，l為樣本數。對其進行非線性變換Φ(X)后，將其映射到高維特征空間H中。Φ(X)的協方差矩陣C的表達式為:

特征向量v為原始樣本空間x在特征空間Φ(X)上的主元方向，其滿足:

將每個樣本 xj(j=1，2，…，l)變換為 Φ(xj)后，與式(4)進行內積運算，可得:

由于vi是Φ(xi)的線性組合，于是存在αi(i=1，2，…，l)滿足:

式中:j=1，2，…，l;αi(j)為向量 αi的第 j個元素。

將式(3)、式(6)代入式(5)，可得:

式中:i=1，2，…，l;特征值 λi≥0。

在再生核希爾伯特空間(reproducing kernel Hilbert space，RKHS)中，滿足Mercer定理的核函數對應非線性函數的內積運算，即:

這里，核矩陣要經過中心化處理。利用式(8)，可將式(7)變為:

式中:α 為特征向量，且 α=[α1，…，αl]。

在特征空間中，特征向量 α=[α1，…，αl]經過PCA特征提取后，將得到滿足主元貢獻率的前k個主元向量α=[α1，…，αk]以及相應的主元特征向量v=[v1，…，vk]。在此基礎上，原始空間X的主元向量=(x1，x2，…，xk)可通過Φ(X)在主元方向v上的投影得到，即:

式中:p=1，2，…，k;αp(i)為特征向量 αp中的第 i個元素;vp為v的第p個特征向量;K( xi，x)為核函數。

通過以上步驟，不但實現了矩陣從X∈Rl×n到～X∈Rl×k的非線性特征提取，同時也實現了非線性輔助變量空間的特征提取。

2 球桿系統結構

為模擬人工操縱小球在橫桿的某一指定位置，采用固高科技有限公司的球桿系統GBB1004，通過自動控制電機的轉動，使小球穩定在橫桿上的某一平衡位置。球桿系統主要由機械部分和智能伺服驅動和控制計算機等部分組成。其中機械部分包括底座、小球、橫桿、減速皮帶輪、支撐部分、馬達等，球桿系統機械部分結構如圖1所示。

圖1 球桿系統機械部分結構Fig.1 Partial structure of the mechanical part of the cue system

小球可以在橫桿上自由滾動，橫桿的一端通過轉軸固定，另一端由一連桿與齒輪相連，可以上下轉動。通過控制直流伺服電機的位置，帶動皮帶輪轉動，再通過傳動機構就可以控制橫桿的傾斜角α。直流伺服電機帶有增量式編碼器，可以檢測電機的實際位置β。在橫桿上的凹槽內，有一線性的傳感器用于檢測小球的實際位置。α和β兩個實際位置的信號都被傳送給控制系統，構成一個閉環反饋系統。當皮帶輪轉動角度為β、橫桿的轉動角度為α、連桿和齒輪的連接點與齒輪中心的距離為d、橫桿的長度為L時，橫桿的傾斜角α和β之間存在以下數學關系:

電機的運動通過IPM100智能伺服驅動器進行控制，IPM100是一個智能的高精度、全數字的控制器，內嵌100 W的驅動電路。基于反饋控制原理，在得到傳感器信號后對信號進行處理，然后給電機繞組施加適當的PWM電壓信號，這樣，相應的轉矩作用于電機軸，使電機開始運動。

3 球桿系統控制方案

球桿系統是一個典型的非線性系統，球桿系統中小球位置的控制不僅與橫桿的實際位置和小球的實際位置有關，還與以前的橫桿和小球的位置有關。因此，小球位置可以表示為關于小球的時間序列和橫桿位置的時間序列非線性方程。小球系統的非線性方程可以表示為:

式中:x1(k)，x1(k－1)，…，x1(k－m1)，x2(k)，x2(k－1)，…，x2(k－ m2)為原始變量組;x1(k)，x1(k－1)，…，x1(k－m1)為小球位置的時間序列;x2(k)，x2(k－1)…，x2(k－m2)為橫桿轉角的時間序列;m1、m2分別為時間序列的嵌入維數。

在處理非線性輸入變量選擇問題時，可合理地提取特征和減少維度。為此，建立的球桿系統控制器數學模型如圖2所示。

圖2 球桿系統控制器數學模型Fig.2 The mathematical model of the cue system controller

由于模型的階數和信息融合結構均未知，如考慮所有的輸入時延信息，將大大降低其實時性能。因此，可采用本文的方法進行輸入相空間的特征提取和信息融合相空間結構的確定。

由于球桿系統控制器的輸入相空間由小球位置信號和橫桿轉動角度及其時間延時組成，而球桿系統是一個模型階數、結構均未知的復雜系統。因此，首先要選擇小球位置信號和橫桿轉動角度及其時間序列，通過虛假鄰點法計算輸入樣本的嵌入維數，從而確定作為球桿控制器模型的初始輸入相空間。

建立球桿系統所需的原始樣本數據經過采集卡采集至計算機，共采集500組數據。本文通過異常點剔除和歸一化處理后，把剩下的488個數據分成兩組，其中400個數據用來建模和交叉檢驗，另外88個作為測試數據集。

4 試驗結果

樣本數據經標準化后，利用虛假鄰點法計算輸入樣本的嵌入維數，所得虛假最近鄰點比例與嵌入維數關系如表1所示。

表1 鄰點比例與嵌入維數關系Tab.1 Relationship between proportion of neighbor point and embedded dimensionality

從表1可以看出，m1增加到6，m2增加到5，虛假最近鄰點不再減少，所以嵌入維數取m1為6，m2為5。

根據KPCA原理，可以計算出經KPCA提取出的主成分、與主成分對應的各方差貢獻率以及總方差貢獻率，主元分析結果如表2所示。

表2 主元分析結果Tab.2 Result of principal component analysis%

表2中，前8個主元的總累計方差貢獻率已經達到了86.22%。文獻［10］提出當前k個主元所累積的方差貢獻率足夠大時(一般大于85%)，就可以只取前k個主元作為新特征向量，即可以很好地反映過程信息而濾去冗余信息。因此，可認為前8個主成分已無相關性，且包括了原始數據的絕大部分信息，則選擇上述8個主元分量建立模型，利用最小二乘法即可建立數學模型。

不同模式下的控制效果比較曲線如圖3所示。

圖3 控制效果比較曲線Fig.3 Comparison curves of control effects

模型的訓練精度和泛化能力可以用均方根誤差(root mean square percentage error，RMSPE)表示，其可定義為:

根據樣本數據和測試數據，計算其訓練誤差和測試誤差，計算結果如表3所示。

表3 兩種建模方法的精度比較Tab.3 Precision comparison of two modeling methods

從仿真試驗結果可知，2種模型都能達到預期效果;但從模型檢驗來看，KPCA+FNN模型具有較好的泛化能力。綜合考慮模型的復雜性、控制精度和泛化能力，KPCA+NN的建模方法更適合用于功能模擬智能控制器模型設計。

5 結束語

本文設計的球桿系統控制器利用虛假最近鄰點法確定球桿系統的輸入向量維數［12］;采用核主元分析方法提取輸入特征向量，精簡輸入空間的維數;利用最小二乘法進行線性回歸，建立球桿控制系統的數學模型。試驗結果表明，基于虛假最近鄰點法和核主元分析法的球桿系統控制器能較好地模擬人的控制行為且有較好的泛化性能。該建模方法有利于提高球桿控制系統的穩定性和控制精度，減少輸入變量嵌入維數，避免維度災難，從而為解決復雜控制系統中易出現的的維度災難和精簡化建模等問題提供了一定思路。

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