有限快拍下的小尺度矢量陣DOA算法＊

何光進 程錦房 張 煒 吳 昊

（海軍工程大學兵器工程系1） 武漢 430033） （鎮江船艇學院船艇工程系2） 鎮江 212003）

0 引 言

聲源波達方向（DOA）估計是水下被動聲納系統的重要研究內容．近幾十年來，涌現的各種高分辨方位估計算法，如旋轉不變子空間法（ESPRIT）［1－3］和多重信號分類法（MUSIC）［4－5］等，從理論上克服了角度分辨的瑞利準則，獲得了超過常規方法的角度分辨能力．其中ESPRIT算法將接收傳感器陣列分成2個完全相同的子陣列，利用數據協方差矩陣信號子空間的旋轉不變特性來估計信號參數［6］，與 MUSIC算法相比，ESPRIT算法不需要進行譜峰搜索［7］，直接通過數值求解得到目標信號的DOA估計，計算復雜度較小，適用于計算能力弱、實時性要求高的場合．

矢量水聽器能夠同時共點拾取聲場中的聲壓和三路相互正交的振速信息，它一出現引起了國內外的廣泛關注［8－10］，由于單個水聽器已經包含目標的方位信息，在相同的陣元數目下，聲矢量陣能獲得更高的增益和空間分辨能力，使得水聲基陣走向小型化成為可能．國內外學者對矢量傳感器和高分辨率方位估計算法的結合進行了研究，取得了一定的成果［11－12］．但是存在的問題是沒有充分利用觀測數據的共軛信息，當陣元數和快拍數較少時，DOA估計精度和多目標分辨能力較弱．本文提出了一種改進的ESPRIT算法，利用水聽器陣列輸出的數據及其共軛構造一中心Hermitian矩陣，根據酉變換對其進行實數化處理．與常規算法不同，本算法不計算數據的協方差矩陣，而是直接對實值矩陣進行奇異值分解（SVD）或特征值分解（EVD），得到信號子空間，最后根據實數域內的ESPRIT算法求得目標信號的DOA估計．與常規算法相比，改進算法利用了觀測數據的共軛信息，DOA估計精度和多目標分辨能力均有提高，由于將對復數矩陣的操作轉化到實數域內進行，雖然處理的數據量增加了一倍，但整個算法的運算量并沒有增加，適用于小尺度陣、有限快拍下的目標信號DOA估計．

1 信號模型

假設平面內有K個遠場窄帶聲源si，i＝1，2，…，K，以角度θi∈［－π，π］入射到 M（K＜M）元二維矢量水聽器均勻線陣上，陣元間距為d，且滿足：d≤λmin／2，其中λmin為窄帶聲源的最小波長．令單矢量水聽器對第i個聲源的方向矢量為hi＝［1，cosθi，sinθi］T，以左邊的第1個水聽器為參考陣元，則第k個陣元的輸出為

式中：λi為第i個聲源的中心波長；nk＝［nkp，nkvx，nkvy］T為第k個陣元的噪聲向量，假設為獨立、加性高斯白噪聲；ak（θi）為陣元k對第i個聲源的聲壓響應系數，整個陣列對第i個聲源的聲壓響應為

式中：φi＝2πd sinθi／λi為第i個聲源在相鄰陣元間的相位延遲．

將各陣元的輸出組合，可得整個陣列的輸出為

式中：?為直積（Kronecker積）；S＝（s1，s2，…，sK）為聲源的波前矢量；n＝［n1，n2，…，nM］為相互獨立的加性高斯白噪聲；A＝（a（θ1）?h1，a（θ2）?h2，…，a（θK）?hK）為矢量陣的陣列流形．

2 常規ESPRIT算法

ESPRIT算法將傳感器陣分成2個完全相同的子陣，且兩子陣的陣間距已知．子陣的劃分方式有多種，本文選取有最大陣元數重疊劃分方式，即將矢量陣的前M－1個陣元作為子陣1，后M－1個陣元為子陣2，兩子陣的陣列流形分別為：A1和A2，則兩子陣間存在如下關系

式中：Φ＝diag（ejφ1，ejφ2，…，ejφK）為兩子陣間的旋轉矩陣．則兩子陣的輸出數據矩陣為

數據的協方差矩陣為

式中：In＝diag（1，1／2，1／2，…，1，1／2，1／2）為矢量傳感器陣的歸一化噪聲協方差矩陣．對R進行SVD／EVD分解，得

式中：Σs為K 個較大特征值組成的對角陣；Σn為3 M－K個較小特征值組成的對角陣；Us和Un為對應的特性向量組成的矩陣．由子空間分解的理論知Us的列向量和陣列流形A的列向量張成相同的空間，即存在一非奇異矩陣T滿足

根據2個子陣的維數對信號子空間Us作如下分解

則由式（9）可以得到

從而根據最小二乘法求得ψ

由式（10）知ψ和對角陣Φ是相似的，對ψ進行EVD分解可以得到旋轉矩陣Φ，根據Φ＝diag（ejφ1，ejφ2，…，ejφK）和φi＝2πd sinθi／λi即可求得目標信號的入射角θi．

3 改進ESPRIT算法

利用觀測數據XV的共軛X＊V及轉換矩陣J構造如下矩陣Z

式中：“＊”為取共軛；J為次對角線元素為1的方陣．

當3 M分別為偶數和奇數時，分別定義左實轉換矩陣Q［13－14］如下

式中：I為單位對角陣．

易知Z滿足中心Hermitian對稱條件，即：TX＝Q2L是實數，對TX進行SVD分解有

上式說明TX的信號子空間為Es＝QH3MUs．定義如下的轉換矩陣：K2＝［0，IM－1］（M－1）×M?I3，則實值空間的旋轉不變性有如下關系

式中：H1＝2Re1），H2＝2Im．對ψ′進行EVD分解有

式中：Ω＝diag（tan（φi／2）），結合φi＝2πd sinθi／λi即可求出信號的入射角，此處不再詳述．

4 改進算法的計算量分析

與常規ESPRIT算法相比，改進算法不同的部分是：（1）對中心Hermitian對稱矩陣Z進行實值化轉換，文獻［15］指出此實值化轉換過程需要3 M×2 N 次加法運算；（2）對實值矩陣TX進行SVD／EVD分解，完成每次SVD／EVD操作所需的乘法運算為O（（3 M）3）．對相同維數的實數矩陣和復數矩陣進行操作，前者的運算量是后者的1／4．通過比較可以得出改進算法的計算復雜度比常規算法有較大降低．

設TX的協方差矩陣為RTX，由前面的分析易知TX的維數為3 M×2 N，RTX的維數為3 M×3 M，當快拍數N滿足：N≤3 M／2時，本文提出的方法比協方差方法有更小的計算量，在小快拍下有較好的應用前景．

5 仿真實驗

5．1 改進算法的DOA估計精度

矢量水聽器陣元數M＝5，子陣劃分選用最大重疊的方式，聲源的入射角度θ＝30°，頻率為1 000 Hz，陣元間距取半波長，快拍數N＝8，Monte Carlo仿真次數為200．不同信噪比下改進算法和常規算法對目標DOA估計的均方誤差曲線見圖1．由圖可見，本文提出的改進算法與常規ESPRIT算法相比提高了目標的DOA估計精度．

圖1 改進算法的DOA估計精度（N＝8）

5．2 改進算法性能與快拍數的關系

本仿真用于分析改進算法的DOA估計精度與快拍數N的關系，仿真條件同上，結果如圖2所示，快拍數N＝8的仿真結果見圖1．從2圖中可以看出，改進算法和常規算法法的方位估計精度均隨快拍數的增加而增加，但是，改進算法的方位估計精度優于常規ESPRIT算法．圖3更清晰地給出了信噪比為0 dB時改進算法和常規算法DOA估計均方誤差與快拍數的關系，從圖中看出，在小快拍時改進算法明顯優于常規算法．

圖2 改進算法的DOA估計精度（N＝2）

圖3 DOA均方誤差與快拍數的關系

5．3 改進算法的雙目標分辨能力

下面對改進算法的雙目標分辨能力進行分析．兩聲源的入射角度分別為10°和－10°，頻率分別為f1＝1 000 Hz，f2＝800 Hz，矢量陣陣元數為7，陣元間距d＝λ1／2＝0．75 m，快拍數N＝16．不同信噪比下改進算法和常規算法對雙目標的DOA結果估計如圖4所示．從圖中可以看出，改進算法在0 dB時已能有效地分辨出雙目標，而常規算法在10 dB時才能達到相近的分辨能力，且改進算法估計結果的離散性更小，穩定性較好．圖5給出了在不同信噪比下，改進算法和常規算法對雙目標分辨的成功概率，從圖中可以更直觀地看出改進算法的優越性．

a）改進算法

圖4 改進算法的雙目標DOA估計結果

圖5 改進算法的雙目標DOA估計結果

5．4 改進算法的分辨能力與陣元數的關系

圖5 給出了在陣元數為7時改進算法和常規算法的雙目標分辨能力，下面分析陣元數更少時兩種算法的性能．圖6給出了陣元數為5、快拍數為16時兩種算法的雙目標分辨能力曲線，從圖中可以看出，在此條件下常規算法已不能分辨雙目標，而改進算法在SNR＞10 dB時仍有較好的分辨效果，適用于水下小尺度陣近距離目標定位與識別．

圖6 小尺度陣條件下改進算法的雙目標分辨能力

6 結 論

本文將矢量傳感器陣列技術和超分辨率方位估計算法相結合，提出了一種適用于有限快拍的小尺度矢量水聽器陣的方位估計算法，通過仿真分析，得出以下結論：

1）通過酉變換原理將對矩陣的操作從復數域轉換至實數域內進行，大大減少了計算量，增強了算法的實時性．

2）改進算法對矢量陣的陣元數目有更高的寬容性，在陣元數目較少時可以通過犧牲信噪比來提高對多目標的分辨能力．

3）改進算法利用了矢量陣觀測數據的共軛信息，對單目標的DOA估計精度和多目標的分辨能力均有提高．

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