磁性液體阻尼減振器動力學建模及實驗?

楊文明,李德才,馮振華

(北京交通大學機械與電子控制工程學院,北京 100044)

引 言

磁性液體是一種由包覆有表面活性劑的納米鐵磁性或亞鐵磁性顆粒分散于液態載液中形成的穩定的膠態懸浮液。在磁性液體應用于實際之初,人們就提出了將磁性液體應用于阻尼的設想[1],后來,K.Raj和 R.M oskow itz于 1980年綜述了磁性液體阻尼技術的諸多應用[2]。之后,應用磁性液體的阻尼器被發展為多種類型。1987年,Katsuto Nakatsuka等人提出了一種活塞式磁性液體阻尼器[3],并將這種阻尼器與空氣彈簧組合用來控制載物臺的振動,Toyohisa Fujita等人將電流變液與磁性液體混合代替活塞式阻尼器中的磁性液體[4,5],發現改進后的阻尼器可阻尼更寬頻率范圍的振動。 Hideaki Fukuda等人則在活塞式磁性液體阻尼器的外部安裝電磁鐵來達到對振動進行主動控制的目的[6,7]。1998年,AbéM asato等人提出了調諧磁性液體阻尼器[8],后來由Yasuhiro Ohira等人建立了這種阻尼器的分析模型[9,10],并經仿真和實驗驗證了它的有效性。2002年,V.G.Bashtovoi提出了一種磁性液體動力吸振器[10],發現它最適用于阻尼小振幅(小于 1 mm)和小頻率(小于1 Hz)的振動。最近幾年,人們為了減小阻尼過程中的生熱,提出了磁性液體膠體阻尼器[12],為了將阻尼器應用于微型機械,研究了多孔彈性片狀磁性液體阻尼器等類型[13]。到現在,有的磁性液體阻尼器已經應用于機械、儀器儀表和航天等領域中,有的則還處于理論分析階段,但在阻尼器件中作為支撐和阻尼液仍然是磁性液體最具潛力的應用之一。

本文針對要求結構緊湊和能量耗散較小的場合,提出另外一種磁性液體阻尼減振器,建立這種減振器的動力學模型,并實驗驗證模型的有效性。

1 磁性液體阻尼減振器工作原理

如圖1所示,磁性液體阻尼減振器由圓柱形非磁性外殼,充滿在外殼內的磁性液體以及浸沒在磁性液體中的圓柱形永磁體組成。如果忽略永磁體的重力,根據磁性液體的第二類懸浮原理[14],永磁體將遠離外殼內壁,懸浮在磁性液體中央。使用時將外殼與被減振的物體固定,外界的振動將引起永磁體與外殼間的相對運動,從而在磁性液體內部產生具有速度梯度的流動,這樣就可以依靠液體的粘性耗能原理耗散能量。

本文中為了研究簡便,用一端固定,另一端自由的彈性懸臂梁產生自由振動,梁的示意圖和建立的坐標系如圖2所示。將未變形時梁的軸線,即各截面形心連成的直線取作 y軸,將梁的對稱平面內與y軸垂直的方向取作x軸。梁在對稱平面內作彎曲振動,不考慮剪切變形和截面繞中性軸轉動對彎曲振動的影響,梁的軸線只有橫向位移x(y,t),t為時間變量。阻尼器安裝于梁的最低端,而且圓柱形阻尼器的軸線沿振動方向。

圖1 磁性液體阻尼減振器結構Fig.1 Structure of ferrofluid damper

圖2 彈性懸臂梁Fig.2 The elastic brass plate

2 磁性液體阻尼減振器動力學建模

2.1 彈性懸臂梁振動能量的計算

一端固定,另一端自由的彈性懸臂梁自由振動時具有如下的表達式[15]式中 A為初始偏移量,U=1.875/l,l為梁的長度,k為梁自由振動的頻率。

由式(1)可知 ,在時間點tn=(n=0,1,2,… )上,梁處于不受力的平衡位置,只有運動能,此時整個梁的運動能為

式中 S為梁的截面積,d為梁材料的密度。將t=tn以及x0(y)的表達式代入式(3),并經積分計算,可得梁的振動能量為

2.2 磁性液體中粘性耗能的計算

由于梁振動時磁性液體內的粘性耗能,梁的振動被抑制,用梁振動的對數衰減率Λ來衡量這種抑制作用的強弱

式中 Ai為第i次振動的振幅,如果記Wi為振幅 Ai時梁的振動能量,則由式(1),(2)和(3)可知Wi正比于Ai2,從而

如果用ΔW表示第i次振動中磁性液體的粘性耗能,則Wi-1=Wi+ΔW,從而對數衰減率可以表示為

下面計算在梁振動的一個周期T內磁性液體的粘性耗能。假設外殼沿軸線方向較其中的永磁體長很多,認為永磁體只在外殼內的中心部分振動,這時可以忽略永磁體在軸線方向上受到的磁性液體施加的回復力。又假設永磁體和外殼間的間隙較永磁體的尺寸小很多,而且由于外殼隨被減振件一起振動的頻率較小,所以永磁體和外殼間的間隙內磁性液體的流動可以認為是沿軸線方向上的一維準定常流動。

根據減振器結構的軸對稱性,將在三維空間內的問題簡化為二維平面問題,如圖3所示,可以只考慮圖中對稱軸以上的部分。圓柱形永磁體懸浮于圓柱形外殼內的磁性液體中,設外殼內徑為R,永磁體的質量為m,長度為lm,密度為d m,半徑為ra,端面面積為 Sm,外圓柱表面積為 Sa,磁性液體的密度為d f,粘度為Z。忽略永磁體的磁場對磁性液體粘度的影響。認為永磁體在磁性液體中沿徑向居中,居中時永磁體和外殼間的間隙為ga。

設外殼沿軸線方向相對于初始位置的位移為x,永磁體相對于外殼的位移為xm,磁性液體相對于外殼的位移為xf,速度為vf。由于忽略磁場和重力對磁性液體的影響,所以間隙內磁性液體流動在r方向上的N-S方程可以簡化為

圖3 磁性液體阻尼減振器的參數Fig.3 Parameters of ferrofluid damper

圖4 永磁體和外殼間的間隙內磁性液體的受力Fig.4 Forces exerted on the ferrofluid between the shell and magnet

即磁性液體內的壓力不隨坐標r變化,當假設磁性液體對永磁體兩端面上某一點的壓力分別為p1和p2時,這時磁性液體對永磁體兩端面上所有點的壓力也為p1和p2,而且與永磁體兩端面處于同一x位置的磁性液體內部的壓力也為p1和p2。

磁性液體可以看作是牛頓流體[16],其內部的剪切應力可以表示為

由于在間隙內磁性液體進行一維的準定常流動,所以vf不隨坐標 x變化,由式 (9)知f也不隨坐標x變化,所以間隙內處于同一r位置上的磁性液體層受到相同的剪切應力,故將永磁體外圓柱表面上受到磁性液體的剪切應力統一表示為f a。

對圓柱形永磁體在 x方向上應用牛頓第二定律,有

式中 Sm=πr2a,Sa=2πra lm。假設永磁體相對于外殼的加速度與外殼自身的加速度相比可以忽略,即,則式 (10)成為

為了確定式(11)中等號右端各項的值,需要求得外殼和永磁體間間隙內磁性液體在外殼隨被減振件一起振動時的流速分布。以該間隙內半徑為r,厚度為d r且與永磁體具有相同長度的磁性液體層為研究對象,如圖4所示。令層與永磁體外表面間的徑向距離為ya,它是一個變量。結合上面的分析,假設磁性液體層內外側的磁性液體對層的切應力分別為f1和f2,層左右兩端的磁性液體對層的壓應力分別為 p1和p2。

對磁性液體層應用牛頓第二定律,有

其中液體層外側的切應力產生的力可用內側的切應力根據該力沿r方向的變化率求得,即

將式(9)和(13)代入式(12),并認為磁性液體相對于外殼的加速度可以忽略,經化簡,有另外,對于外殼和永磁體間隙內磁性液體的流動,有邊界條件

求解方程(14),并由邊界條件最終可得

其中

根據式(16),可計算得外殼和永磁體間的間隙內磁性液體的流量為

作用于永磁體圓柱表面上的切應力為

由外殼內所有的磁性液體的質量守恒,可得

將 Sm和式(18)代入式(20),化簡得

將式(21)的結果分別代入式(19)和(17),得

將式 (22)和(23)代入式 (11),可得

式中 a=6R3-9R2ga+10Rga2-3ga3

將式 (21)代入式 (16),得

綜合式(24)和 (25),并由式(1)將梁上 y位置點的振動加速度代入,得到梁在振動時減振器內磁性液體的流速如下

由于不可壓縮流體中單位時間的能量耗散可以表示為[17]

其中vi和vk分別為流體運動速度在坐標xi和xk上的分量,V為流體的體積。而本文中只考慮永磁體和外殼間隙內磁性液體的流動,所以耗能也只發生在這些流動中,且忽略磁場對磁性液體粘度的影響,這樣其能量耗散可以簡化為

將式 (26)代入上式,并根據 d V=2πlm(ra+ ya)d ya,可得

其中

則在梁的振動周期 T內磁性液體的粘性耗能為

2.3 懸臂梁振動對數衰減率的計算

應用式(7),(4)和(30),可得到安裝有磁性液體阻尼減振器的彈性懸臂梁振動的對數衰減率的表達式

其中Y和x0(y)分別由式(29)和 (2)給出。

3 實 驗

在如圖5(圖6為其對應的實物圖)所示的裝置上進行實驗研究。彈性懸臂梁選用黃銅板,尺寸為1 200mm× 50mm× 5mm,重 2.55 kg。 其一端固定,另一端安裝磁性液體阻尼減振器,梁自由振動的頻率k=1.74 Hz,實驗時的初始振幅為15mm。固定在梁自由端的半導體加速度傳感器可得到與振動加速度成定量關系的電壓信號,該信號經數據采集器(DI-710)讀入并經模數轉換后輸入到與之相連的計算機,數據采集器的采樣頻率為200 Hz。進入到計算機的信號首先轉化為加速度數據,再由加速度數據得到梁振動的速度和位移數據。

圖5 實驗裝置示意圖Fig.5 Schemeo f the experimental devices

圖6 實驗裝置實物圖Fig.6 Graph of the experimental devices

為了驗證所得理論的正確性,分別驗證永磁體半徑ra,永磁體和外殼間的間隙ga,以及不同飽和磁化強度磁性液體對懸臂梁振動對數衰減率的影響。阻尼減振器的結構參數和磁性液體的物理參數在表1中給出。其中永磁體的材料均為Nd-Fe-B,長度都為12mm,所用磁性液體的基載液均為煤油,其中分散的均為 Fe3 O4磁性顆粒。組裝完成的減振器最重19.93 g。

表1 實驗參數Tab.1 Experimental param eters

在以上條件下,一種振動的位移圖像如圖7所示。

圖7 懸臂梁自由端的振幅變化曲線Fig.7 Diagrams of the plate oscillations with and without the damper

4 實驗結果分析

圖8中給出梁振動的對數衰減率Λ隨永磁體半徑ra變化的理論曲線和實驗結果的對比。從圖中可以看出,當永磁體半徑較小時,實驗結果與理論預測的一致性很好,而當永磁體半徑較大時,一致性較差,而且理論曲線與實驗值的偏差隨著永磁體半徑的增大而增大。這是因為當永磁體半徑較大時,永磁體磁場對磁性液體的吸引力也較大,這種吸引力使得在包圍永磁體周圍形成超出永磁體尺寸較多的啞鈴狀磁性液體包覆層,如圖9所示,這將阻礙外殼和永磁體間間隙內磁性液體的流動,而理論上這種影響在假設中忽略。圖8還可以說明當永磁體半徑較小時,梁振動的對數衰減率隨著永磁體半徑的增大而增大。

圖8 梁振動對數衰減率隨永磁體半徑的變化Fig.8 Dependence of the logarithmic decay rate on theradius of themagnet

圖9 吸引磁性液體后的永磁體Fig.9 The ferrofluid structure around themagnet

圖10中給出梁振動的對數衰減率Λ隨永磁體和外殼間的間隙 ga變化的理論曲線和實驗結果的對比?？梢钥闯?理論曲線與實驗值的一致性在間隙較小時較好,較大時則較差。這是因為在推導理論是曾做出間隙與永磁體尺寸相比較小的假設,而在圖中4個間隙較大的實驗值中,間隙值已超過永磁體直徑,理論中所假設的“薄層模型”已經不適用。從圖10中還可以看出,在其他條件相同時,有一最佳的間隙值使得梁振動的對數衰減率達到最大。

將表1中的不同磁性液體按照飽和磁化強度從小到大編號為 1～5,在表2中給出使用這幾種磁性液體時梁振動的對數衰減率理論值與實驗結果的對比。從表中發現,使用1號磁性液體時理論值與實驗結果的差別比其他磁性液體大。受重力的影響,減振器內永磁體會或多或少偏離外殼的軸線位置,而 1號磁性液體的飽和磁化強度最小,永磁體在外殼內處于同一位置時受到磁性液體的懸浮力也最小,所以偏離中心位置的距離就最大,而理論則是基于永磁體在磁性液體內居中的假設。

圖10 梁振動對數衰減率隨永磁體和外殼間間隙的變化Fig.10 Dependence of the logarithm ic decay rate on the wid th of the gap in the radial direction

表2 不同磁性液體時的對數衰減率Tab.2 The logarithm ic decay ratewhen dif ferent ferrof luid are used

5 結 論

(1)提出了一種結構簡單的磁性液體阻尼減振器,建立了這種減振器的動力學模型,并結合彈性懸臂梁的振動能量,得到減振器施加于彈性懸臂梁后梁振動的對數衰減率。實驗驗證表明,在所假設的條件下,理論與實驗結果的一致性較好。

(2)其他條件相同時,當永磁體半徑較小時,磁性液體阻尼減振器的阻尼效果隨著永磁體半徑的增大而增大;減振器外殼與永磁體間有一最佳間隙,使得梁振動的對數衰減率達到最大。

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