一類出現在燃燒理論中的奇攝動邊值問題

方曉玲 ，周 健 ，劉樹德

(1.安徽大學 數學科學學院，安徽 合肥230601；2.安徽師范大學 數學系，安徽 蕪湖 241000）

1 引 言

奇異攝動理論和方法是當前解決工程技術和科學問題的主要數學工具之一，在天體力學、流體力學、量子力學、彈性力學、化學反應理論、燃燒理論、光的傳播和非線性振動等學科得到了廣泛的應用，[1-7]例如 Willams，[1]章國華和 Howes[4]討論了幾類出現在燃燒理論中的奇攝動Dirichlet問題。

本文在此基礎上考慮如下形式的奇攝動Robin問題

其中y為燃燒火焰的密度，ε為反應速度的擴散率，它是一個正的小參數，t為燃燒位置，A≥2和B≥1為常數，n≥1為正整數。

我們通過選取適當的具有邊界層性質和角層性質的函數構造出一對界定函數，應用微分不等式理論證明問題(1)-(3)存在具有角層性質的解，并給出解的漸近估計，為此需要用到如下引理。

引理[4]： 考慮二階非線性常微分方程Robin問題)))

其中函數 f在區域 D=[a，b]×R2中連續， f(t，y，z)=O （|z|2） （（|z|） →+∞）。 p，q 是 非 負 常 數且不同時為零。 假設存在函數 α(t)，β(t)∈C2[a，b]使得

及微分不等式

則問題(4)-(6)在區間[a，b]上存在一個解 y=y(t)，并成立不等式

α(t)，β(t)通常稱為問題(4)-(6)的一對界定函數。1968年Jackson[8]減弱了對界定函數的要求：若在[a，b]上存在分劃{t}：a=t0＜t1＜…＜tn=b，使得 α，β∈C2[ti-1，ti](i=1，2，…，n)（在左、右端點處的導數分別指右導數和左導數），即 α（t），β（t）為[a，b]上分段 C2類函數，且在

其中K2為確定的常數。當t0=0時，(10)寫為

及

則引理的結論仍成立。

2 構造具有邊界層和角層性質的函數

由于退化解u(t)=|t|的導數在t=0處有躍度u'(0+)-u'(0-)=2，需要在t=0處構造具有角層性質的函數。在(14)中令

當反應率ε=0時，問題(1)-(3)退化方程

可得

于是

從而得到

有解 u1=-t和 u2=t。選取方程(7)在[-1，1]上的一個穩定解 u(t)=|t|。

助方程

方程(8)在I上具有如下形式的代數型漸近角層解

其中C為任意常數，λ，μ是與t0有關的常數。將(9)代入(8)得

它是一個在t=0處具有角層性質的函數。

從而得出

3 解的存在性及解的漸近估計

于是

應用微分不等式理論，我們來證明解的存在性，并給出解的漸近估計。

定理：設 A≥2，B≥1，則燃燒問題(1)-(3)在[-1，1]上存在一個解y(t，ε)具有如下形式的漸近估計式：

當 t0=-1 時，(10)寫為

注意到問題(1)-(3)的解與(7)的穩定解u(t)=|t|在

令

由(11)得

其中 0＜ε＜＜1，n≥1 為正整數。

證明：構造界定函數 α(t，ε)和 β(t，ε)如下

其中 L(t，ε)，R(t，ε)和 M(t，ε)分別由(12)，(13)和(15)確定，r為待定的正常數。由(17)可知

且容易推出

于是

選擇 r≥σ，便有

同理可得

接著我們證明在 t∈(-1，0)∪（0.1）上

事實上，由于

可得

即(22)成立。

注意到函數 α(t，ε)和 β(t，ε)在 t=0 不可導，但顯然成立

根據引理及Jackson[8]推廣的微分不等式理論，從(18)-(23)推出，對充分小的正數 ε，問題(1)-(3)在[-1，1]上存在一個解 y(t，ε)，并滿足不等式

因此漸近估計式(16)成立，定理證畢。

[1]Willams，F.A.Theory of combustion in laminar flows[J].Ann Rev Fluid Mech，1971，3:171-188.

[2]江濤，劉樹德.一類出現在化學反應器理論中的奇攝動邊值問題[J].黃山學院學報，2011，13（5）：13-15.

[3]Nayfeh，H，Introduction for Perturbation Techniques[M].New York:John Wiley&Sons，1981:394-432.

[4]Chang K.W，and Howes F.A Nonlinear Singular Perturbation Problems：Theory and Applications[M].New York:Spring Verlag，1984:153-208.

[5]林宗池，周明儒.應用數學中的攝動方法[M].南京:江蘇教育出版社，1995:123-126.

[6]de Jager，E.M.and Jiang Furu，The Theoy of Singular Perturbations[M].Amsterdam:Elsvier.1996:276-291.

[7]劉樹德，魯世平，姚靜蓀，等.奇異攝動邊界層和內層理論[M].北京：科學出版社，2012:124-151.

[8]Jackson，L K，Subfunctions and Second-Order Ordinary Differential Inequalities[J].Adv in Math，1968，(2):307-363.