一類最優投資理論的數學模型

任長宇, 袁 芳

(1. 吉林大學 數學學院, 長春 130012; 2. 香港浸會大學 數學系, 香港)

0 引 言

雍炯敏[1]研究了金融數學中的一類最優投資問題, 目標是尋找最優投資組合, 以最優化該投資者的收益, 他把這類問題歸結為如下拋物型Monge-Ampère方程：

(1)

注意到方程(1)中自變量y的意義是“該投資者用于投資的初始資本”, 則顯然當y<0時該投資者無法進行投資. 同時, 作為“初始資本”, 必然是有限的. 因此, 為了與這種投資問題的實際更接近, 應該代替純粹的初值問題(1)而考慮區域Q=[0,T)×(0,X)上的初邊值問題. 文獻[5]對該問題的第一初邊值問題進行了一些基礎性研究, 在給定的結構條件下, 建立了相關問題古典解的存在唯一性.

本文進一步研究由模型(1)導出的如下拋物型Monge-Ampère方程的混合初邊值問題：

(2)

這里:u(x,t)是未知函數;f(x,t)和φ(x,0)分別是Q和[0,X]上的適當光滑函數;A(t),B(t)為[0,T]上的函數;a,b為非負常數. 此外, 還需下列基本假設:

(H3) 問題(2)滿足直到二階為止的銜接條件.

在問題(2)中, 為方便, 用φ(x,0)表示g(x). 由于本文考慮混合初邊值問題, 因此條件(H2)與文獻[5]中的條件有不同之處.

記

函數v(x,t)∈K稱為可容許函數. 顯然, 對任意的可容許函數u(x,t)∈K, 問題(2)為拋物型方程. 本文將在K中尋找問題(2)的可容許解. 主要結果如下:

注1文獻[5]中保留了問題(1)的條件g′(x)≤0, 本文可以去掉.

注2當r=0時, 問題(2)中的方程恰好是文獻[6-7]中所討論方程的一維情形. 因此本文只考慮r>0的情況.

注3當a=b=0時, 問題(2)恰好與獻[5]中所研究的問題相同. 因此本文也可視為文獻[5]中所述問題的進一步研究.

為簡便, 本文不妨假設函數φ(x,t)已經光滑延拓到整個Q, 并且

-[φt(x,t)-rxφx(x,t)]φxx(x,t)=f(x,t), ?(x,t)∈[0,X]×{t=0}.

(3)

1 解的存在性

對τ∈[0,1], 考慮如下單參數問題族:

(4)τ

其中:

Aτ(t)=(1-τ)A0(t)+τA(t);Bτ(t)=(1-τ)B0(t)+τB(t);

顯然, 當τ=1時, 問題(4)τ即為問題(2).

從而問題(4)0在K中有解.

證明: 令

u0(x,t)=φ(x,0)+(ert-1)(x2-Xx)-kt,

(5)

命題1確保了單參數問題族(4)τ的解集合不空. 如果能事先得到問題族(4)τ的所有可能解的C2+α,1+α/2估計:

(6)

這里:α∈(0,1);C>0為可控常數. 則問題(2)解的存在性可以通過經典的連續性方法得到[6,8-9]. 不難驗證, 從“問題數據”的角度看, 問題(4)τ和問題(2)具有相同的性質, 因此只需對問題(2)的所有可能解u=u(x,t)做出與式(6)相同的先驗估計即可.

2 先驗估計

為了證明解的唯一性及做先驗估計, 先證明一個比較原理.

引理1設v(x,t),w(x,t)∈K滿足如下不等式:

證明: 先證明式(7)-(10)中不等號均為嚴格不等號的情況.

v-w≤(v-w)x=0,X<0,

-(vt-rxvx)vxx≤-(wt-rxwx)wxx于(x0,t0),

對于式(7)-(10)中不等式的情形, 可取ε>0充分小, 令vε(x,t)=v(x,t)-ε(t+1), 則容易驗證

由命題1直接可得:

定理2問題(7)-(10)在K中至多有一個解.

綜上, 有:

命題2設u∈K為問題(2)的可容許解, 則存在一個僅依賴于問題數據的常數C1, 使得

下面估計ut, 考慮問題(2)中方程的線性化算子:

關于ut的先驗估計, 有:

命題3設u∈K為問題(2)的解, 則存在僅依賴于問題數據的常數C2,c0>0, 使得

(11)

下面分3種情形討論:

由式(11)和(2)中第三式, 有

由式(11)和(2)中第四式, 有

綜上, 結合命題2即可得-ut的上方估計.

下面做-ut的下方估計. 對相同的拋物算子Lu, 考慮如下兩個輔助函數:

w1=ek1tut,w2=rxuxek1t.

直接計算得

于是

下面分3種情形討論:

ek1t0(-uxt+rux)≥0;

由式(11)和(2)中第三式, 有

ek1t0(-uxt+rux+rXuxx)≤0;

由式(11)和(2)中第四式, 有

最后, 估計uxx. 由于已經得出了-(ut-rxux)≥c0>0, 因此直接利用方程(2), 可得:

命題4設u∈K為問題(2)的解, 則存在僅依賴于問題數據的常數ν0,C3, 使得

將式(2)中的方程兩邊對t求導, 得

(12)

綜上, 可得:

定理3設u∈K為問題(2)的解, 則存在可控常數β∈(0,1)和C>0, 使得

利用連續性方法, 綜合上述結果即可完成定理1的證明.

[1] 雍炯敏. 數學金融學: 理論與實踐 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.

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