具可變擴(kuò)散系數(shù)的橢圓-雙曲方程組的全局適定性

李 健, 高文杰, 李建軍, 王增輝

(1. 吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院, 長春 130118; 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012; 3. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 阜新 123000)

0 引 言

考慮由Ward等[1]提出的一個偏微分方程組的自由邊界問題, 該模型描述腫瘤球體對反腫瘤藥物的反應(yīng). 本文考慮其可變擴(kuò)散系數(shù)的問題：

(1)

其中:n,m,c,w和v為未知函數(shù), 分別表示活細(xì)胞的密度(細(xì)胞個數(shù)/單位體積)、 死細(xì)胞的密度、 營養(yǎng)濃度、 藥物濃度和腫瘤細(xì)胞的運(yùn)動速度;Dc(r),Dw(r)表示依賴r的擴(kuò)散系數(shù), 并假設(shè)擴(kuò)散系數(shù)具有正上、 下界; 函數(shù)kp,kd及f取Michaelis-Menten型, 即

這里A,B,cp,cd,σ,β和wc為正常數(shù); 活細(xì)胞的增生率為kp, 自然死亡率為kd, 藥物致死率為Kf; 常數(shù)K為藥物導(dǎo)致細(xì)胞死亡的最大值;ω為藥物有效性的一個度量.

假設(shè)球體由活細(xì)胞和死細(xì)胞組成, 反腫瘤藥物及營養(yǎng)物的分子相對與腫瘤細(xì)胞非常小. 記VL和VD分別為單個活細(xì)胞和死細(xì)胞的體積, 則

VLn+VDm=1.

(2)

定義r0=(3VL/4π)1/3為單個活細(xì)胞的半徑.

在自由邊界r=R(t)上, 取邊界條件為

(3)

其中:c0是外部營養(yǎng)濃度(假設(shè)固定);w0(t)是非負(fù)函數(shù);R(t)是腫瘤的球半徑.

施加下面的初始條件:

R(0)=R0,n(r,0)=n0(r),c(r,0),w(r,0),

(4)

并假設(shè):

(5)

其中:w0為正常數(shù);c(r,0),w(r,0)分別為初始的營養(yǎng)濃度和藥物濃度. 本文假設(shè)：w0(t)∈C[0,+∞),n0(r)∈C1[0,R(0)].

用VL,VD分別乘式(1)的前兩個方程, 再利用式(2), 得

該方程可以代替式(1)的第二個方程.

做非量綱變換:

開始時的半徑R(0)可以認(rèn)為遠(yuǎn)比r0大. 經(jīng)過上面的變換, 方程組可以寫成如下形式:

(6)

其中:

1 全局存在唯一性

引理1[4]設(shè)V(ρ,t)是定義在[0,1]×[0,T]上并滿足V(0,t)=V(1,t)=0(0≤t≤T)的有界函數(shù),f(ρ,t,n)是定義在(ρ,t,n)∈[0,1]×[0,T]×R上的連續(xù)函數(shù), 并且關(guān)于變量(ρ,n)連續(xù)可微. 考慮如下問題:

(12)

‖n‖∞≤‖n0‖∞+T‖f‖∞.

而且如果n0∈C1[0,1], 則弱解實際上是古典解, 并且下面的估計成立:

由式(11), 得

(13)

因此v(0.t)=0, 并且v(ρ,t)關(guān)于變量ρ可微.

記M=max{b(c,w)n: 0≤n≤1, 0≤c≤1, 0≤w≤w0(t)}. 對給定的T, 引入度量空間(XT,d):XT包含滿足如下假設(shè)條件的向量函數(shù)(R,n,c,w)=(R(t),n(ρ,t),c(ρ,t),w(ρ,y))(0≤ρ≤1, 0≤t≤T):

(H2)n(ρ,t)∈C([0,1]×[0,T]),n(ρ,0)=n0(ρ), 0≤n≤1;

(H3)c(ρ,t)∈C([0,1]×[0,T]),c(1,t)=1, 0≤c≤1;

(H4)w(ρ,t)∈C([0,1]×[0,T]),w(1,t)=w0(t), 0≤w≤w0(t).

其中

d((R1,n1,c1,w1),(R2,n2,c2,w2))=‖R1-R2‖∞+‖n1-n2‖∞+‖c1-c2‖∞+‖w1-w2‖∞.

易證(XT,d)是個完備的度量空間.

并分別考慮如下4個問題:

顯然問題(17)有唯一的解

(18)

由b(c,w)n≤M, 得

(19)

又由0≤n≤1, 式(18),(19)及橢圓方程的Lp估計, 得

對任意給定的t1,t2∈[0,T], 有

利用Lp估計, 得

綜上, 映射F是當(dāng)T充分小時把XT映射到其本身的. 下面證明當(dāng)T更小時,F是壓縮映射.

令(Ri(ρ,t),ni(ρ,t),ci(ρ,t),wi(ρ,t))∈XT(i=1,2), 則

直接計算, 得

由式(18), 得

(20)

由線性方程的最大模估計知

同理可得

(22)

又由引理1及n0∈C1, 易得

由式(20)～(23), 可得

因此, 如果T充分小, 使得TC(T)<1, 則F是從XT到其本身的壓縮映射.

由Banach不動點(diǎn)定理知, 如果T充分小, 則F在XT中有唯一的不動點(diǎn)(R,n,c,w). 又由F的定義知, 不動點(diǎn)(R,n,c,w)是問題(7)～(11)在0≤t≤T上的唯一解. 類似于文獻(xiàn)[11]的方法, 可得如下局部存在定理：

定理1假設(shè)w0(t)>0是在[0,+∞)上的一個連續(xù)有界函數(shù), 如果T充分小, 則問題(7)～(11)有唯一解(w(r,t),c(r,t),n(r,t),v(r,t),R(t))((ρ,t)∈[0,1]×[0,T]), 使得w(r,t),c(r,t)∈C2(0,R(t))∩C[0,R(t)](t∈[0,T]),R(t)∈C1[0,T],n(r,t)∈C1([0,R(t)]×[0,T]), 并且有

為證明問題(7)～(11)解的全局存在性, 首先應(yīng)證明下面的引理.

引理2如果問題(7)～(11)的解(R,n,c,w)在0≤t

1) 0≤n(ρ,t)≤1, 0≤ρ≤1, 0≤t

3)c(ρ,t)∈C(0,1),w(ρ,t)∈C(0,1),t為參數(shù);

4)R0e-Mt/3≤R(t)≤R0eMt/3,M=maxb(n,c,w);

5)n(ρ,t)∈C1(0,1).

證明: 由文獻(xiàn)[10]中定理2.2可得斷言1). 由橢圓方程的極值原理知斷言2)成立. 由斷言1)和2)可得b(n,c,w)≤M. 由式(10),(13), 易得斷言3). 利用橢圓方程的Lp估計知

定理2滿足定理1中條件的問題(7)～(11)的解全局存在.

證明: 令0≤t0, 使得問題(3)～(7)的解在區(qū)間[t0,t0+θ]存在. 因此問題(3)～(7)的解(R,n,c,w)可以延伸到時間區(qū)間[0,T+θ)上, 這與T的定義矛盾. 證畢.

[1] Ward J P, King J R. Mathematical Modelling of Drug Transport in Tumour Multicell Spheroids and Monolayer Cultures [J]. Math Biosci, 2003, 181(2): 177-207.

[2] Bueno H, Ercole G, Zumpano A. Asymptotic Behaviour of Quasi-stationary Solutions of a Nonlinear Problem Modelling the Growth of Tumours [J]. Nonlinearity, 2005, 18(4): 1629-1642.

[3] TAO You-shan, CHEN Miao-jun. An Elliptic-Hyperbolic Free Boundary Problem Modelling Cancer Therapy [J]. Nonlinearity, 2006, 19(2): 419-440.

[4] CUI Shang-bin, WEI Xue-mei. Global Existence for a Parabolic-Hyperbolic Free Boundary Problem Modeling Tumor Growth [J]. Acta Math Appl Sin: Eng Ser, 2005, 21(4): 597-614.

[5] HOU Xiu-mei. Asymptotic Behavior of Solutions of a Free Boundary Problem Modeling Multi-layer Tumor Growth in Presence of Inhibitor [J]. Acta Math Appl Sin: Eng Ser, 2011, 27(8): 1621-1636.

[6] XU Shi-he. Qualitative Analysis of a Delayed Free Boundary Problem for Tumor Growth under the Effect of Inhibitors [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2011, 74: 3295-3304.

[7] HOU Xiu-mei, CUI Shang-bin. Stability of Stationary Solutions for a Multi-dimensional Free Boundary Problem Modeling Tumor Growth [J]. Adv Math Sci Appl, 2009, 19: 449-464.

[8] CUI Shang-bin, Escher J. Bifurcation Analysis of an Elliptic Free Boundary Problem Modelling the Growth of Avascular Tumors [J]. SIAM J Math Anal, 2007, 39: 210-235.

[9] Ladyzhenskaya O A, Ural’tseva N N. Linear and Quasilinear Elliptic Equations [M]. New York: Academic Press, 1968.

[10] Friedman A, Tao Y. Analysis of a Model of a Virus That Replicates Selectively in Tumor Cells [J]. J Math Biol, 2003, 47(5): 391-423.

[11] LI Jian, GAO Wen-jie, LIU Lin-lin. Global Solvability of Nonlinear Diffusion Equations with Forcing at the Boundary [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2008, 46(5): 801-808. (李健， 高文杰， 劉琳琳. 邊界受控的非線性擴(kuò)散方程的整體可解性 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)板， 2008， 46(5)： 801-808.)