若干包含Euler函數φ(n)的方程

孫翠芳, 程 智

(安徽師范大學 數學計算機科學學院, 安徽 蕪湖 241000)

Ω(1)=0,Ω(n)=α1+…+αr.

本文將對三類方程n-φ(n)=2Ω(n),n-φ(φ(n))=2Ω(n)和φ(n-φ(n))=2Ω(n)正整數解的情況進行研究, 給出了它們所有的正整數解. 所得結果不僅給出了部分非φ值和非對偶φ值, 而且利用數論函數Ω(n)對正整數n與φ(n)差的情況做了相應刻劃.

引理1[9]對任意正整數m和n, 若mn, 則φ(m)φ(n).

引理2[9]若q=2l+1是一個素數, 則有非負整數k, 使得l=2k.

素數q=22k+1稱為Fermat素數.

引理3設s是大于1的整數, 若qi=22ki+1(i=1,2,…,s)是不同的Fermat素數, 2k1+…+2ks=r, 則q1q2…qs<(220+1)r=3r.

證明: 由于qi(i=1,2,…,s)是不同的Fermat素數, 所以不妨設q1

證明: 當r=3時, 若α2≥2或α3≥2, 則有

當r≥4時, 有

所以當r≥3時, 結論成立.

引理5若r≥3,n=p1…pr, 其中p1,…,pr是不同的奇素數, 則n-φ(n)>2·3r.

證明: 對r使用數學歸納法, 若r=3, 則

假設結論對r成立, 即有p1p2…pr-(p1-1)(p2-1)…(pr-1)>2·3r成立, 則對r+1的情形, 有

由歸納法知結論成立.

證明: 當r≥3,s≥1時, 由引理5, 有

定理1方程n-φ(n)=2Ω(n)的所有正整數解是n=2α·3, 其中α是正整數.

證明: 方程n-φ(n)=2Ω(n)顯然沒有奇數解. 設n是方程n-φ(n)=2Ω(n)的偶數解, 令n=2αm, 其中:α是正整數;m是奇數.

即s=1,p1=3, 且n=2α·3, 其中α是正整數. 證畢.

定理2方程n-φ(φ(n))=2Ω(n)的所有正整數解是n=3.

證明: 方程n-φ(φ(n))=2Ω(n)的奇數解顯然只有n=3. 設n是方程n-φ(φ(n))=2Ω(n)的偶數解, 令n=2αm, 其中:α是正整數;m是奇數.

如果m=1, 則n=2α=2Ω(n), 且φ(φ(n))≥1, 因而n=2α不是方程n-φ(φ(n))=2Ω(n)的解. 如果m>1是奇數, 則φ(m)是偶數, 于是設φ(m)=2βt, 其中:β是正整數;t是奇數. 從而有

即2m-φ(φ(m))=21+Ω(m)及4?φ(φ(m)), 從而φ(m)=1,2,4,ps,2ps, 其中:p≡3(mod 4)是奇素數;s是正整數.

即r=1,α1=s+1,p=p1=3, 從而m=3s+1且

2m-φ(φ(m))=2·3s+1-2·3s-1=24·3s-1≠21+s+1=21+Ω(m),

故方程n-φ(φ(n))=2Ω(n)在這種情況下沒有解. 證畢.

定理3方程φ(n-φ(n))=2Ω(n)的所有正整數解是n=2α·7,2α·11,2α·52,2α·3·7,52, 其中α是正整數.

即β1=…=βs=1,qi-1=2li,l1+…+ls=α1+…+αr, 根據引理2,q1,…,qs都是Fermat素數. 當r≥3時, 根據引理3,n-φ(n)=q1…qs<3α1+…+αs, 根據引理5及引理6,n-φ(n)>2·3α1+…+αr, 矛盾, 從而方程φ(n-φ(n))=2Ω(n)無解.

φ(n-φ(n))=φ(p1+p2-1)=4,p1+p2-1=5,8,2·5,22·3,

p1(p1+p2-1)=n-φ(n)=(220+1)(221+1)=3·5,

p1p2(p1+p2-1)=n-φ(n)=222+1=17,

所以方程無解.

如果r≥3, 若m=3α1·5·7,n=2α·3α1·5·7, 此時n不是方程的解, 所以m≠3α1·5·7, 由引理4～引理6知

2m-φ(m)=m-φ(m)+m>2·3Ω(m)+4·3Ω(m)=2·3Ω(m)+1.

即β1=…=βt=1, 并有正整數ki, 使得qi=22ki+1是Fermat素數, 2k1+…+2kt=Ω(m)+1.

由引理3知2m-φ(m)=2q1…qt<2·3Ω(m)+1, 矛盾, 所以方程在這種情況下無解.

即p1=5, 于是n=2α·52.

即

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