復符號模式矩陣的復L可分性

劉 月

(福州大學 數學與計算機科學學院, 福州 350108)

0 引 言

考慮如何根據矩陣的部分信息確定矩陣的性質, 即在假設僅已知矩陣“模式”的前提下研究矩陣的秩. 實數域中研究的矩陣稱為符號模式矩陣. 對于實矩陣, 此類研究一般稱為實矩陣的定性分析[1-3]. 本文研究復矩陣的性質.

復矩陣A的“模式”稱為A的復符號模式[4], 記為csgn(A). 設z=a+ib是一個復數, 其中a和b都是實數. 它的復符號記為csgn(z), 定義為

csgn(z)=sgn(a)+i·sgn(b).

A的復符號模式是指把A的所有元素用相應的復符號替換后所得的矩陣. 與A具有相同復符號模式矩陣全體所構成的矩陣集合稱為矩陣A的復符號模式矩陣類, 記為QS(A), 即

QS(A)={Bcsgn(B)=csgn(A)}.

若一個矩陣的秩等于它的列數, 則稱該矩陣是一個列滿秩矩陣. 設A是一個復矩陣, 若由A的復符號模式可以推知A列滿秩, 則稱A是一個復L陣. 等價地,A是復L陣當且僅當A的復符號模式矩陣類QS(A)中的所有矩陣都是列滿秩的. 復L矩陣的定義實質上是實數域下L矩陣定義的一種推廣[2,5]. 每個L矩陣都是復L陣, 所有元素都為實數的復L陣即L陣. 方L陣即為SNS矩陣(符號非異矩陣). 非L矩陣的識別問題是NP-完全的[5].

對于方陣, 其不可約性和完全不可分性是兩個基本性質, 如Perron-Frobenius定理的條件中要求矩陣是不可約的. 對于一般矩陣, 也可以定義類似的性質. 由矩陣復L性的定義可知它在行列置換下保持不變, 類似于矩陣的完全不可分性, 本文將定義復L陣的復L可分性, 該定義是L矩陣可分性的推廣. 本文還將討論復L可分性在一種特殊的矩陣變換----分裂變換[6]下的性質, 并證明矩陣的復L可分性在分裂變換下保持不變.

1 復符號模式矩陣的分裂變換及規范型

若一個復數落在復平面 C的坐標軸上, 則稱其為一個軸元. 等價地, 設z=a+ib是一個復數, 其中a和b都是實數, 則當a·b=0成立時,z是一個軸元. 對任意兩個軸元z1和z2, 它們屬于相同的復符號模式類中當且僅當存在某個正實數k, 使得z1=k·z2. 不是軸元的復數稱為象限元.

若一個復矩陣的所有元素都是軸元, 則稱該矩陣是一個軸元陣. 顯然, 實矩陣都是軸元陣.

在(實)符號矩陣理論向復數域推廣過程中, 除復符號模式推廣外, 還有另一種推廣方式, 稱為Ray模式推廣[7-8]. 在Ray模式推廣中, 非零復數z的Ray定義為z/z, 類似可以定義矩陣的Ray模式及Ray模式矩陣類. 由定義易知, 當矩陣為A軸元陣時,A的Ray模式矩陣類和復符號模式矩陣類恰好相同. 通過分裂變換, 可以把一般的復矩陣轉化為軸元陣.

復矩陣的復符號非異性在分裂變換下保持不變[6], 該性質可以拓展到一般(非方)矩陣上, 并且類似可知矩陣的復L性也在分裂變換下保持不變.

定義1設A=(apq)m×n是一個復方陣,j∈〈m〉,k∈〈n〉, 其中: 〈m〉表示行指標集{1,2,…,m}; 〈n〉表示列指標集{1,2,…,n}. 假設ajk=a+ib(a,b∈R), 并且A具有如下分塊形式:

其中:A12和A32是列矩陣;A21和A23是行矩陣. 記

則從A到φj,k(A)的過程稱為在A的元素ajk處進行了一次分裂變換.

設A和B是兩個m×n階矩陣. 若存在兩個置換矩陣P和Q, 使得B=PAQ, 則稱A和B是置換相抵的, 記為A～B. 設σ=σP是P所對應的A的行指標集置換,ζ=ζQ是Q所對應的列指標集置換. 取j∈〈m〉,k∈〈n〉, 記j′=σ(j),k′=ζ(k), 設A=(ajk)m×n,B=(bjk)m×n. 則B=PAQ當且僅當ajk=bj′k′對每個j∈〈m〉,k∈〈n〉都成立. 進一步, 設j∈〈m〉,k∈〈n〉是兩個給定的指標,j′,k′如前定義, 則易知φj,k(A)和φj′,k′(B)也是置換相抵的. 即對兩個置換相抵的矩陣, 若在“相同”的元素上進行分裂變換, 則所得矩陣也是置換相抵的.

根據定義1, 分裂變換可以實施于矩陣的任何一個元素上. 引入分裂變換的目的之一是因為分裂變換可以減少矩陣的象限元數. 易見當對一個象限元施行分裂變換后, 所得矩陣的象限元數較原來減少1. 對象限元依次實施分裂變換, 所得矩陣是一個軸元陣. 如果固定順序, 則最終所得矩陣是唯一的. 為方便, 本文選取字典序, 最終所得的矩陣稱為原矩陣的規范型.

性質1設A是一個{m×n}階的復矩陣, 則:

2 復L可分性及其在分裂變換下的性質

由于矩陣的復L性在行列置換下保持不變, 所以可以通過適當的行列置換, 使得所得矩陣具有相對簡單的分塊形式. 顯然有:

定義3如果存在置換矩陣P和Q, 使得

則稱復L矩陣A是復L可分的, 其中B1和B2都是非空復L陣. 若一個復L陣不是復L可分的, 則稱其為復L不可分.

下面討論矩陣的復L可分性在分裂變換實施前后的變化情況.

引理2設A是一個復L陣,ajk是A在(j,k)位置的象限元, 則A是復L可分的當且僅當φj,k(A)是復L可分的.

對于充分性, 不妨設j=k=1. 記A′=φ1,1(A), 同時記

?B′,

情形2) 這4個元素包含在兩個相鄰的塊中.

(1)

或

(2)

應用引理1和引理2, 對矩陣含有的象限元個數進行歸納, 可得本文的主要結論如下:

定理1表明, 在考慮矩陣的復L可分性時, 只需把問題限制在軸元陣的范圍內即可.

[1] Samuelson P A. Foundations of Economic Analysis [M]. Cambridge: Harvard University Press, 1947.

[2] Brualdi R A, Shader B L. Matrices of Sign-Solvable Linear Systems [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

[3] Iwata S, Kakimura N. Solving Linear Programs from Sign Patterns [J]. Math Program: Ser A, 2008, 114(2): 393-418.

[4] Eschenbach C A, Hall F J, Li Z S. From Real to Complex Sign Pattern Matrices [J]. Bulletin of Australian Math Soc, 1998, 57(1): 159-172.

[5] Klee V, Lander R, Manber R. Signsolvability Revisited [J]. Linear Algebra and Its Applications, 1984, 59: 131-157.

[6] YUE Liu, SHAO Jia-yu, HE Chang-xiang. On the Boundaries of the Determinantal Regions of Ray Pattern Matrices [J]. Linear Alg Appl, 2008, 428(11/12): 2699-2707.

[7] McDonald J J, Olesky D D, Tsatsomeros M J, et al. Ray Patterns of Matrices and Nonsingularity [J]. Linear Alg Appl, 1997, 267: 359-373.

[8] Li C K, Rodman L. Inverse Closed Ray-Nonsingular Cones of Matrices [J]. Linear Alg Appl, 2005, 400: 203-230.