賦p-Amemiya(1≤p≤∞范數的Orlicz序列空間的端點和嚴格凸性

段麗芬, 許 晶, 崔云安

(1. 通化師范學院 數學系, 吉林 通化 134002； 2. 哈爾濱理工大學 應用科學學院, 哈爾濱 150080)

p-Amemiya(1≤p≤∞)范數[1]既包含了Orlicz范數[2](當p=1時), 又包含了Luxemburg范數[3](當p=∞時). 但當1

1 預備知識

本文用X表示一個Banach空間,B(X)和S(X)分別表示X的閉單位球和單位球面.

定義1[8]x∈S(X)稱為端點是指若x=(y+z)/2 (y,z∈B(X)), 則y=z. 用ExtB(X)表示B(X)所有端點構成的集合. 若ExtB(X)=S(X), 則稱X是嚴格凸的.

定義2[9]若函數ρ:X→[0,∞)滿足下列條件, 則ρ稱為凸函數： 1) 當且僅當x=0時,ρ(x)=0; 2)ρ(-x)=ρ(x); 3) 對任何x,y∈X,a,b≥0,a+b=1, 都有ρ(ax+by)≤aρ(x)+bρ(y).

利用Minkowsky不等式易知,sp為非減的凸函數. 令σp=max{u≥0:sp(u)=1},εp=1-[1/p], 其中[1/p]表示不超過1/p的最大整數, 規定1/∞=0. 顯然, 當1≤p<∞時,σp=0; 當p=∞時,σp=1. 當p=1時,εp=0; 當1

u

則當u

θ:lM,p→[0,∞),θ(x)=inf{k>0:ρM(k-1x)<∞};

Ap:lM,p×(0,∞]→(0,∞],Ap(x,k)=k-1sp(ρM(kx)).

定義4[12]設M為Orlicz函數,u為實數. 如果對任何兩個不同實數v,w, 只要(v+w)/2=u即有M(u)<(M(v)+M(w))/2, 則稱u是M的一個嚴格凸點.M的嚴格凸點全體記為SCM. 顯然,SCM?{u∈R:M(u)<∞}∪{±cM}.

定義5[12]如果存在常數k≥2和x0>0, 使得當x≤x0時,M(2x)≤kM(x), 則稱Orlicz函數M(關于較小的x)滿足Δ2條件.

引理1對任何1≤p≤∞及x=(x(i))i∈lM,p{0}, 都有:

引理3設1≤p≤∞, 則

引理1～引理4為文獻[1]的平行結果, 其證明可完全平行獲得(只要把函數改為序列即可), 故略.

2 主要結果

定理1設1≤p≤∞, 則x=(x(i))i∈S(lM,p)是B(lM,p)的端點的充要條件是下列條件同時成立:

1) 若集合suppx={i∈N:x(i)≠0}中所含元的個數μ(suppx)≥2, 則

?;

2) ①{i=N:x(i)≠0}為單元集或②對任何k∈Kp(x), {kx(i):i=1,2,…}中至多有εp個元不屬于SCM;

3) ①對任何k∈Kp(x),ρM(kx)≥σp或②對任何i∈N, 都有x(i)=cM<∞.

若條件1),2)及3)中①成立. 設x=(x(i))i∈S(lM,p),y,z∈B(lM,p),y+z=2x, 則‖y‖M,p=‖z‖M,p=1. 下面分三步證明y=z.

首先, 證明Kp(y)≠?,Kp(z)≠?時,y=z. 事實上, 記ky∈Kp(y),kz=Kp(z),k=kykz/(ky+kz), 利用引理1、sp和M的凸性及Minkowsky不等式, 有

這蘊涵‖x‖M,p=‖y‖M,p=‖z‖M,p=1=(2k)-1sp°ρM(2kx), 所以, 2k∈Kp(x). 同時,

因為ρM(2kx)≥σp,sp(u)在[σp,∞)上嚴格遞增, 故有

對任何正整數i, 利用M的凸性可得

當條件2)中①成立時, 設x={0,0,…,x(i),0,0,…}, 因為0∈SCM, 有y(j)=z(j)=0(j≠i). 注意到‖y‖M,p=‖z‖M,p=‖x‖M,p=1, 則y(i)=z(i)=x(i), 進而y(i)=z(i)=x(i). 故y=z.

當條件2)中②成立時, 注意到當1

可知對任何1≤p≤∞及正整數i, 都有kyy(i)=kzz(i). 又kyy(i),kzz(i),2kx(i)在同一個線性區間上, 且0∈SCM, 有kyy(i)=kzz(i), 進而kyy=kzz. 此外,

ky=‖kyy‖M,p=sp(kyy)=sp(kzz)=‖kzz‖M,p=kz,

因此,y=z.

綜上可得, 對任何x=(x(i))i∈S(lM,p), 若滿足y,z∈B(lM,p),y+z=2x, 則必有y=z, 即x∈Ext(B(lM,p)). 充分性得證.

令y(i0)=x(i0)+u,z(i0)=x(i0)-u,y(i)=z(i)=x(i)(i≠i0),y+z=2x,y≠z, 但

同理‖z‖M,p≤1, 這與x∈Ext(B(lM,p))矛盾. 證畢.

推論1x=(x(i))i∈S(lM,p)是B(lM,p)的端點的充要條件是:

1)p=1且: ①若μ(suppx)≥2, 則K(x)≠?; ②若μ(suppx)=1或對任何k∈K(x)及i∈N, 都有kx(i)∈SCM;

2) 1

3)p=∞且: ①ρM(x)=1且μ{i∈N:x(i)?SCM}≤1或②對任何i∈N, 都有x(i)=cM<∞.

定理2Orlicz序列空間lM,p嚴格凸的充要條件是:

1) 若x∈S(lM,p),μ(suppx)≥2, 則Kp(x)≠?；

2)M在[0,πM,p(1)]嚴格凸, 其中

πM,p(1)=inf{t>0: 2εpM(t)σp((2M(t))p-1N(p(t)))1-σp≥1};

3) ①1≤p<∞或②p=∞且M∈Δ2.

證明: 結合文獻[12]中定理2.7和定理2.9、 文獻[4]中定理2的證明, 再利用定理1, 充分性及2)和3)的必要性易得, 1)的必要性可由引理4直接得到. 證畢.

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