矩陣型網絡DEA模型解的存在性及其性質

程 昀, 楊印生, 盛學之

(1. 吉林大學 管理學院, 長春 130025； 2. 山東大學威海分校 機電與信息工程學院, 山東 威海 264209；3. 密歇根州立大學 數學系, 美國 東蘭辛 48823)

網絡DEA[1]主要針對復雜系統相對有效性(簡稱效率)的求解問題. 常見的復雜系統有鏈式結構、 環型結構和復合結構, 分別如圖1～圖3所示. 這些復雜結構的系統統稱為網絡結構, 求解其效率的DEA方法統稱為網絡DEA方法. 文獻[2-6]以供應鏈系統結構為主, 構建了串型系統DEA效率評價模型； 文獻[7-10]針對并型獨立子系統提出了一系列DEA效率評價模型; 文獻[11]基于靜態情形, 得到了以效率區間表示的環型系統效率. 但對于如圖3所示的不同階段、 不同層次的子系統都存在投入產出關系, 每個子系統還存在外部投入產出關系, 系統之間構成很多環型結構的這類復合系統, 目前對其提出具體的網絡DEA模型報道較少.

圖3所示的系統內部縱橫交錯, 類似多維矩陣的形式, 該類系統稱為矩陣型網絡系統. 基于生命周期評價(LCA)的供應鏈管理系統、 投入產出系統等均為此類結構形式. 對于3個子系統的矩陣型網絡結構, Amatatsu等[12]在SBM模型[13-14]的基礎上, 提出一個網絡DEA模型, 但未對該模型解的存在性及性質進行討論. 本文針對圖3所示的n個子系統的矩陣型網絡結構進行分析, 提出了求解其效率的網絡DEA模型, 證明了新模型解的存在性, 給出了決策單元弱DEA有效性的定義, 并討論了決策單元的弱DEA有效性與相應多目標規劃弱Parteo解的關系.

圖1 鏈式結構的串型結構(A)和并型結構(B)Fig.1 Serial stucture (A) and parallel stucture (B) of chain stucture

圖2 環型結構Fig.2 Ring structure

圖3 復合結構Fig.3 Composite structure

1 矩陣型網絡系統DEA模型及其對偶

(1)

易得矩陣型網絡DEA模型(1)的對偶模型如下：

(2)

顯然, 矩陣型網絡DEA模型及其對偶模型均為線性規劃模型.

2 矩陣型網絡DEA模型解的存在性

(3)

(4)

將不等式(3)中的l=1,2,…,m累加, 得

整理可得

(5)

由對偶理論可知, 模型(1)與對偶模型(2)的最優值相同, 即

3 矩陣型網絡DEA模型解的性質

考慮如下多目標規劃：

(6)

其中

為矩陣型網絡DEA模型(1)的生產可能集.

定義2設(X*,Y*)∈T, 若不存在(X,Y)∈T, 使得F(X,Y)

引理1設(X0,Y0)為多目標規劃(6)對應的線性加權問題

的最優解, 若(ω0T,μ0T)≥0, 則(X0,Y0)為多目標規劃(6)的弱Pareto解.

定理2若決策單元DMUj 0是弱DEA有效的, 則(X0,Y0)必為多目標規劃(6)的弱Pareto解.

且k≠l,

(11)

則由式(8)可知

(12)

進一步整理不等式(12)左邊后兩項可得

再結合不等式(11)可得

(13)

則

(14)

因此, 對?(X,Y)∈T, 結合式(14)有

即(X0,Y0)為多目標問題(6)相應于以ω*,μ*≥0為權的如下線性加權和問題的最優解:

從而由引理1知, (X0,Y0)為多目標問題(6)的弱Pareto解.

綜上, 本文通過建立矩陣型網絡DEA模型解決了矩陣型網絡結構的效率評價問題. 新模型的性質表明, 新模型在矩陣型網絡結構的效率評價方面可行、 有效.

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