帶干擾的兩類理賠更新風險模型的Gerber-Shiu函數(shù)

王 杰, 程建華

(1. 吉林師范大學 課程與教學論研究所, 吉林 四平 136000; 2. 吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012)

0 引 言

風險理論是精算學研究的核心內(nèi)容, 近年來, 人們開始關注兩類理賠的風險模型：

U(t)=u+ct-S(t),t≥0,

(1)

其中:U0=u表示初始盈余;c>0為單位時間的保費收入; {S(t),t≥0}表示累積理賠額過程, 并且假設S(t)包含兩類保險風險：

(2)

模型(1)用于描述保險公司的多險種盈余過程. 文獻[1-2]假設{N1(t),t≥0}和{N2(t),t≥0}分別是Poisson過程和廣義Erlang(2)過程, 研究了模型的破產(chǎn)概率和Gerber-Shiu函數(shù); 文獻[3]考慮了{N2(t),t≥0}是廣義Erlang(n)過程的情形; 文獻[4]則將其推廣到兩類理賠的到來過程都是以時間間隔為Phase分布的更新過程; 文獻[5-6]研究了此類模型的分紅問題. 由于保險公司的盈余會受市場和其他競爭因素的影響, 因此文獻[7]用布朗運動描述這種影響, 提出了帶干擾的風險模型. 本文考慮帶干擾的兩類理賠更新風險模型, 推廣了文獻[4]的結(jié)果.

1 模型簡介

考慮如下盈余過程：

U(t)=u+ct-S(t)+σW(t),t≥0,

(3)

其中: {W(t),t≥0}是一個標準的布朗運動;σ>0為擾動系數(shù). 令{Vi,i≥1}和{Wi,i≥1}分別表示第一類理賠時間間隔和第二類理賠時間間隔, 即N1(t)=max{i:V1+…+Vi≤t},N2(t)=max{i:W1+…+Wi≤t}. 假設{Vi,i≥1}和{Wi,i≥1}都是非負i.i.d.隨機變量列, 共同的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F,f和G,g, 并且滿足如下假設條件.

3) 假設安全負載條件成立, 即c>EX1/EV1+EY1/EW1.

對于模型(3), 令T=inf{t≥0,U(t)≤0}(inf{?}=∞)表示破產(chǎn)時間,φ(u)=P(T<∞U(0)=u)為破產(chǎn)概率,U(T-)為破產(chǎn)前瞬時盈余,U(T)為破產(chǎn)時赤字. 為統(tǒng)一描述這些風險變量, 文獻[9]提出了期望折現(xiàn)罰金函數(shù), 即Gerber-Shiu函數(shù)：

Φ(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞)U(0)=u],

其中:δ>0;ω(x,y),x≥0,y≥0, 是使得上述期望存在的非負實函數(shù);I(C)表示集合C的示性函數(shù).

由于模型帶有干擾, 破產(chǎn)可能由理賠導致, 也可能由擾動導致, 因而Gerber-Shiu函數(shù)可以分成兩部分, 記作Φ(u)=Φs(u)+Φd(u), 其中:

Φs(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,U(T)<0)U(0)=u];

Φd(u)=ω(0,0)E[e-δTI(T<∞,U(T)=0)U(0)=u].

根據(jù)定義, 易知Φs(0)=0,Φd(0)=Φ(0)=ω(0,0), 不失一般性, 假設ω(0,0)=1.

進一步, 定義一個與破產(chǎn)相關的隨機變量K:K=k(k=1,2), 如果破產(chǎn)由第k類理賠導致, 則Φs(u)可以分解為Φs(u)=Φ1,s(u)+Φ2,s(u), 其中

Φk,s(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,K=k,U(T)<0)U(0)=u],k=1,2.

易知{(I(t),J(t)),t≥0}是一個二維Markov鏈, 狀態(tài)空間為

{(E1,F1),…,(En,F1),(E1,F2),…,(En,F2),…,(E1,Fm)…,(En,Fm)},

初始分布為γ=β?α, 密度矩陣為

D=Im×m?A+B?In×n+Im×m?(aTα)+(bTβ)?In×n,

其中?表示Kronecker乘積.

定義給定初始狀態(tài)(I(0),J(0))=(Ei,Fj)的Gerber-Shiu函數(shù)為

Φij,k,s(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,K=k,U(T)<0)U(0)=u,(I(0),J(0))=(Ei,Fj)],

Φij,d(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,U(T)=0)U(0)=u,(I(0),J(0))=(Ei,Fj)].

易知Φk,s(u)=γΦk,s(u),k=1,2;Φd(u)=γΦd(u), 其中:

Φk,s(u)=(Φ11,k,s(u),…,Φn1,k,s(u),Φ12,k,s(u),…,Φn2,k,s(u),…,Φ1m,k,s(u),…,Φnm,k,s(u))T;

Φd(u)=(Φ11,d(u),…,Φn1,d(u),Φ12,d(u),…,Φn2,d(u),…,Φ1m,d(u),…,Φnm,d(u))T.

2 Gerber-Shiu函數(shù)滿足的積分微分方程

定理1對于u≥0, Gerber-Shiu函數(shù)滿足下列積分微分方程：

證明: 類似文獻[10], 在無窮小時間段[0,t]內(nèi), 考慮盈余過程是否發(fā)生理賠和{(I(t),J(t)),t≥0}狀態(tài)是否改變, 可得

其中V(t)=u+ct+σW(t). 在式(7)兩邊除以t, 令t→ 0, 并注意到Taylor展式：

通過計算可得式(4). 同理可得式(5)和式(6). 證畢.

將式(4)～(6)寫成矩陣形式為

?aT)ω1(u),

(8)

(9)

(10)

其中:L=δImn×mn-Im×m?A-B?In×n;H(x)=Im×m?(aTα)p(x)+(bTβ)?In×nq(x). 對式(8)～(10)兩邊取Laplace變換, 可得

(11)

(12)

(13)

方程Aδ(r)=0稱為廣義Lundberg方程, 它的根對于解答上述積分微分方程有重要作用. 類似于文獻[4]中的定理3.1和文獻[11]中的定理1, 可得如下引理:

引理11) 若δ>0,Aδ(r)=0有mn個實部為正的復根; 2) 若δ=0,Aδ(r)=0有一個零根和mn-1個實部為正的復根.

為方便, 簡記這些根為τ1,τ2,…,τmn.

3 Gerber-Shiu函數(shù)的解析解

當σ=0時, 文獻[4]得到了Gerber-Shiu函數(shù)的Laplace變換, 并在理賠額服從一類特殊分布時, 取逆Laplace變換, 得到了Gerber-Shiu函數(shù)的表達式. 本文采用不同的方法, 當理賠額服從一般分布時, 得到Gerber-Shiu函數(shù)的解析解.

由文獻[12]可知

(14)

結(jié)合齊次積分微分方程

(15)

有如下結(jié)果.

?aT)ω1(x)]dx,

(16)

(17)

(18)

其中:

(19)

(20)

(21)

這里*表示伴隨矩陣.

證明: 因為M(u)的列是方程(15)的解, 所以

(22)

(23)

類似地, 有

(24)

結(jié)合式(11), 有

取逆Laplace變換可得式(16). 下面證明式(19). 由式(11), 可得

?aT),i=1,2,…,mn,

從而

遞推可得

?aT),

再結(jié)合式(14), 即可得式(19). 類似地, 可以得式(20).

記ξ(r)=Dr+c, 則

易見M(u)和N(u)在定理2的結(jié)論中有重要作用, 由式(23)和(24)可知

M(u)=L-1{[Aδ(s)]-1(Ds+c)},

(25)

N(u)=L-1{[Aδ(s)]-1D},

(26)

其中L-1表示逆Laplace變換.

4 M(u)和N(u)的表達式

假設理賠額的密度函數(shù)p和q都屬于有理分布族, 即

(27)

其中:pl1-1(r)和ql2-1(r)分別是次數(shù)不高于l1-1和l2-1的多項式;pl1(r)和ql2(r)分別是次數(shù)為l1和l2的多項式; 它們都只有非正根, 且滿足pl1(0)=pl1-1(0)和ql2(0)=ql2-1(0). 不失一般性, 假設pl1(r)和ql2(r)的最高次數(shù)項系數(shù)為1. 有理分布族是一類很廣的分布族, 它包含了指數(shù)分布、 Erlang分布、 Phase分布及這些分布的各種混合.

令v(r)=[pl1(r)ql2(r)]mn, 由式(25)可得

注意到v(r)Aδ(r)是一個系數(shù)為Dmn的(l1+l2+2)mn次多項式, 可以把上述等式寫為如下形式：

其中: -R1=τ1,…,-Rmn=τmn和-Ri(i=mn+1,…,(l1+l2+2)mn)是方程v(r)Aδ(r)=0的根;τ1,…,τmn是方程Aδ(r)=0的根.

取逆Laplace變換可得

(28)

同理可得

(29)

例1當δ=0,ω(x,y)=1, Gerber-Shiu函數(shù)Φ1,s(u),Φ2,s(u)和Φd(u)分別簡化為破產(chǎn)概率φ1,s(u),φ2,s(u)和φd(u). 假設理賠額均服從指數(shù)分布：

p(x)=λ1e-λ1x,q(x)=λ2e-λ2x,λ1>0,λ2>0,x≥0.

取c=3,α1=α2=0.5,a11=-1,a12=0.5,a21=1,a22=-2,β1=1,b11=-2,λ1=1,λ2=2,σ=1. 容易驗證c>EX1/EV1+EY1/EW1=0.666 7+1=1.666 7.

解方程(r+λ1)2(r+λ2)2A(r)=0, 得R1=1,R2=0,R3=-0.843 806,R4=0.510 267,R5=1.414 616,R6=1.521 888,R7=7.007 415,R8=7.389 619. 由定理2, 計算可得

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