Brown運(yùn)動(dòng)和Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)下的公司價(jià)值

張誠(chéng)斌, 王順體, 李輝來

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

公司經(jīng)營(yíng)通常受多種因素影響, 而且具有一定的風(fēng)險(xiǎn)性, 因此要考慮采用何種方式融資及融資多少為最佳, 此即為公司的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題. 自Modigliani和Miller[1]提出了現(xiàn)代資本結(jié)構(gòu)理論(MM定理)以來, 這方面的研究已有許多成果, 如: Martzoukos等[2]研究了在世界政治不穩(wěn)定時(shí)期石油價(jià)格的起伏情況； Jiang等[3]調(diào)查了4種資產(chǎn)的價(jià)格情況； Mauer等[4]研究了代理成本與融資決策的問題； Sudipto[5]給出了稅務(wù)對(duì)投資的影響； Liu等[6]研究了股東與債權(quán)人的代理問題； Andrikopoulos[7]討論了股東與管理者間的代理問題; Leland[8]假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù)時(shí), 研究了債務(wù)價(jià)值與公司資本問題; Egami[9]研究了公司融資成本問題. 本文在上述研究的基礎(chǔ)上, 分別討論在Brown運(yùn)動(dòng)和Poisson過程共同驅(qū)動(dòng)下, 杠桿公司和非杠桿公司的公司價(jià)值問題, 并給出了公司停產(chǎn)時(shí)價(jià)格的臨界值. 結(jié)果表明, 在其他條件都相同的情況下, 如果投資產(chǎn)品價(jià)格下降, 則杠桿公司必須要先于非負(fù)債公司停止運(yùn)營(yíng), 否則會(huì)虧本.

假設(shè)公司有一些生產(chǎn)設(shè)備, 固定投資成本為I元. 用該設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品, 設(shè)生產(chǎn)成本為C元, 產(chǎn)品價(jià)格為P元, 收益率為δ, 公司的投資成本一部分來源債務(wù)融資, 公司與債權(quán)人達(dá)成如下協(xié)議: 債權(quán)人借給公司K元, 公司付給債權(quán)人連續(xù)紅利R元, 如果公司不違約, 紅利永遠(yuǎn)進(jìn)行下去, 稅率為τ, 如果公司違約, 設(shè)破產(chǎn)成本與無負(fù)債公司價(jià)值的比為b(0≤b≤1), 一旦公司破產(chǎn), 首先償還債務(wù), 剩余的價(jià)值歸股東所有, 公司由債權(quán)人接管.

假設(shè)產(chǎn)品價(jià)格P服從如下模型:

dPt/Pt=μdt+σ(dWt+dN(t)),

(1)

其中:μ為公司的預(yù)期增長(zhǎng)率;σ為公司的瞬時(shí)波動(dòng)率;W為標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動(dòng). 設(shè)λ為Poisson過程{N(t)}t≥0的強(qiáng)度, 即在dt內(nèi)出現(xiàn)一次跳的概率為λdt.

下面研究非杠桿公司和杠桿公司的公司價(jià)值. 杠桿公司是指公司在融資過程中, 一部分來源于權(quán)益資本融資, 另一部分來源于銀行借債; 非杠桿公司是指公司在融資過程中, 其資金全部來源于權(quán)益資本融資. 考慮非杠桿公司的公司價(jià)值, 先構(gòu)造一個(gè)由該公司和Δ單位資產(chǎn)P形成的投資組合, 選擇合適的Δ, 使得該投資組合無風(fēng)險(xiǎn), 即經(jīng)典的對(duì)沖方法. 下面構(gòu)造該投資組合Π=V-ΔP, 其中Δ待定. 在[t,t+dt)時(shí)間內(nèi),

dΠt=Πt+dt-Πt=Vt+dt-Vt-Δt(Pt+dt-Pt).

(2)

設(shè)產(chǎn)品的收益率為δ, 則

Pt+dt-Pt=dPt+δPtdt=(μ+δ)Ptdt+σPt(dWt+dN(t)).

(3)

若取Δ=dV/dP, 則

(4)

此時(shí)產(chǎn)品價(jià)格的跳風(fēng)險(xiǎn)是不應(yīng)該得到回報(bào), 即

E(dΠt)=rΠtdt.

(5)

于是,V(P)滿足

令

(6)

其中PA表示公司破產(chǎn)的價(jià)格臨界值, 當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格小于PA時(shí), 公司將破產(chǎn), 這時(shí)前期設(shè)備資產(chǎn)的投入將變成沉沒資本. 公司設(shè)備殘值為零, 則公司價(jià)值為零. 因此, (V(P),PA)滿足如下自由邊界問題:

當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格P充分大時(shí), 公司設(shè)備會(huì)一直進(jìn)行生產(chǎn), 所以公司價(jià)值應(yīng)是稅后價(jià)值, 由于價(jià)格的跳躍性, 則應(yīng)對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行補(bǔ)償, 即有式(8), 此外PA是公司破產(chǎn)的價(jià)格最優(yōu)臨界值, 故有式(9),(10).

定理1對(duì)于非杠桿公司, 當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格服從式(1)時(shí), 公司價(jià)值V(P)和破產(chǎn)最佳臨界值PA分別為

證明： 由于當(dāng)P≤PA時(shí),V(P)=0, 故V(P)滿足

令

(13)

則L1U(P)=0的通解為

U(P)=APα+BPβ,

(14)

其中:A,B為待定系數(shù);

注意到式(7)中的非線性項(xiàng)是P的一次多項(xiàng)式, 故可設(shè)式(7)的通解形如

V(P)=U(P)+aP+b,

(15)

其中a,b待定. 將式(15)代入式(7), 有

L1U(P)+(r-δ-σλ)aP-(r+σλ)(aP+b)+(P-C)(1-τ)=0,

(16)

整理式(16), 可得

(17)

聯(lián)立式(14),(15),(17), 得

(18)

其中A,B,PA為待定的值. 將式(18)代入3個(gè)定解條件(8)～(10)中, 經(jīng)計(jì)算可得

于是,

證畢.

下面研究產(chǎn)品價(jià)格服從式(1)杠桿公司的公司價(jià)值. 設(shè)U(P)為公司的權(quán)益價(jià)值,D(P)為公司的債務(wù)價(jià)值, 由于杠桿公司的融資一部分來源于權(quán)益融資, 另一部分來源于借債, 因此由基本假設(shè)知, 公司的利潤(rùn)為(P-C-R)(1-τ). 設(shè)PD為公司債務(wù)違約的臨界值, 當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格小于PD時(shí), 則U(P)=0,P≤PD, 所以(U(P),PD)滿足如下定解問題:

類似地, 公司的債務(wù)價(jià)值D(P)滿足如下定解問題:

式(26)表示公司債務(wù)違約扣掉破產(chǎn)成本后, 債務(wù)人剩余的公司價(jià)值; 式(27)表示當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格充分大時(shí), 公司不太可能債務(wù)違約, 此時(shí)公司的債務(wù)價(jià)值為所得利息的現(xiàn)值, 由于標(biāo)的資產(chǎn)服從跳躍過程, 因此要對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行補(bǔ)償.

定理2當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格服從式(1)時(shí), 杠桿公司的價(jià)值H(P)為

證明： 由于H(P)=U(P)+D(P), 其中U(P),D(P)分別滿足定解問題(21)-(24)和(25)-(27), 故由定理1的證明可知,

證畢.

注1由于β<0, 而且根據(jù)債務(wù)違約臨界值PD和PA可知,PA

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