正交各向異性磁共振電阻抗成像問題的唯一性

鳳 天 宏

(1. 東北財經(jīng)大學 數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院, 遼寧 大連 116025; 2. 吉林大學 數(shù)學研究所, 長春 130012)

磁共振電阻抗成像(magnetic resonance electrical impedance tomography, MREIT)是一種新型的生物醫(yī)學成像技術(shù)[1-2], 它將傳統(tǒng)的電阻抗成像(electrical impedance tomography, EIT)技術(shù)與磁共振電流密度成像(magnetic resonance current density imaging, MRCDI)相結(jié)合, 利用物體內(nèi)部的電流密度分布和內(nèi)部電場產(chǎn)生的磁場信息及成像體周圍的電勢分布重構(gòu)內(nèi)部介質(zhì)的電導率. 從數(shù)學的角度看, 采用生物組織內(nèi)部的信息減弱了問題的不適定性, 克服了傳統(tǒng)EIT技術(shù)僅利用介質(zhì)邊界的有限測量數(shù)據(jù), 從而導致求解過程不穩(wěn)定、 反演困難等缺點, 可能得到更理想的數(shù)值結(jié)果和更高分辨率的圖像.

目前, 關(guān)于MREIT的理論和算法大部分基于“電導率分布為各向同性”這一基本假設[3-4], 然而絕大多數(shù)生物體組織的電導率分布卻為各向異性. 因此, 為了使這種成像方法能用于實際, 需要確定各向異性MREIT問題的唯一性. 另一方面, 實際應用中很多各向異性物體都可以近似地視為正交各向異性導體, 即電導率σ除對角線外全為0[5], 對這種情形下的唯一性, 會得到與各向同性MREIT類似的一些結(jié)論和方法. 本文將證明如果已知電導率的比率, 則在至少有兩組互不平行輸入電流的條件下, 電導率可以被唯一性重構(gòu).

1 MREIT問題的模型

設導電物體Ω?R2, 其上電導率分布為正交各向異性, 即

(1)

(2)

其中:n為邊界?Ω的單位外法向量;g表示流過電極E+和E-的已知電流, 滿足

(3)

MREIT模型與EIT模型的不同之處在于引入了MRCDI技術(shù)[6], 改變了傳統(tǒng)EIT成像的數(shù)據(jù)獲取方式, 利用MRCDI技術(shù)可以直接測量成像物體內(nèi)部的磁場分布B, 再通過安培定律得到物體內(nèi)的電流密度分布J, 即

▽×B=μ0J,

(4)

其中μ0=4π×10-3為真空磁導率. 因此, 在MREIT模型中, 已知的信息不僅包括邊界上的輸入電流g, 也包含了物體內(nèi)部的電流密度分布J, 且電流密度J、 電勢分布u和電導率之間滿足歐姆定律：

J=-σ*▽u, 在Ω內(nèi).

(5)

一般情況下, 不需要知道邊界處電勢分布的信息, 這是因為在實際應用中, 要準確測量邊界上每點的電壓值并非易事.

綜上所述, 正交各向異性MREIT問題就是求解具有形如式(1)的電導率σ*, 并且電勢u滿足邊值問題:

(6)

其中:i=1,2;σ11(ξ0),σ22(ξ0)已知.

2 MREIT問題的唯一性

假設MREIT問題中, 正交各向異性電導率分布具有比式(1)更特殊的形式, 并假設已知σ11和σ22比率, 即

(7)

證明： 對于i=1,2, 根據(jù)式(6)在Ω中成立Ji=-σ*▽ui, 所以有

▽×(σ*▽ui)=-▽×Ji.

(8)

(9)

即

(10)

(11)

將式(11)代入式(10)并重新整理, 得

事實上, 式(12)可以等價的寫成

(13)

(14)

進一步, 由式(11), 并且由σ和k均大于0, 可知下式成立:

(15)

由于Ω?R2, 所以由式(15)可推出

(16)

(17)

(18)

綜上所述, 本文探討了介質(zhì)內(nèi)電導率分布為正交各向異性MREIT問題的唯一性, 證明了如果已知電導率比率, 則在至少有兩組互不平行輸入電流的條件下, 電導率可以被唯一重構(gòu). 此外, 大部分生物體組織的電導率分布都為各向異性, 因此, 各向異性MREIT問題的重構(gòu)算法對實際應用非常關(guān)鍵.

[1] Joy M, Scott G, Henkelman M. In Vivo Detection of Applied Electric Currents by Magnetic Resonance Imaging [J]. Magnetic Resonance Imaging, 1989, 7(1): 89-94.

[2] Zhang N. Electrical Impedance Tomography Based on Current Density Imaging [D]: [Master’s Degree Thesis]. Toronto: University of Toronto, 1992.

[3] Woo E J, Seo J K. Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography (MREIT) for High-Resolution Conductivity Imaging [J]. Physiol Meas, 2008, 29(10): R1-R26.

[4] Seo J K, Woo E J. Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography (MREIT) [J]. SIAM Review, 2011, 53(1): 40-68.

[5] Uhlmann G. Inverse Scattering in Anisotropic Media [M]. New York: Springer, 2000: 235-252.

[6] Gamba H R, Bayford R, Holder D. Measurement of Electrical Current Density Distribution in a Simple Head Phantom with Magnetic Resonance Imaging [J]. Phys Med Biol, 1999, 44(1): 281-291.

[7] Kim Y J, Kwon O, Se J K, et al. Uniqueness and Convergence of Conductivity Image Reconstruction in Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography [J]. Inverse Problem, 2003, 19(5): 1213-1225.

[8] Colton D, Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992.