一類二階三點邊值問題無窮多解的存在性

賀 強, 張 琪, 盧 洋

(吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012)

多點支持的橋梁簡化模型可用如下二階三點邊值問題描述:

(1)

其中:λ≥0;β∈[0,1],α·β∈[0,1]. 分別考慮以下3種情況：

條件(2)稱為共振條件; 條件(4)和(3)稱為非共振條件.

文獻[1-3]在理論上證明了方程(1)解的存在性, 但只給出了方程解存在的個數(shù)下界, 并沒有對其上界做出估計.

為分析三點邊值問題(1)解的存在性, 先介紹上解和下解[4]方法.

引理1[4]假設以下3個條件同時成立:

1)λ≥0,β∈[0,1];

2)f(·,·)是定義在(0,1)×R上的實函數(shù), 且滿足:

(i) 對每個確定的u∈R,f(t,u)在(0,1)上是可測的;

(ii)f(t,·)在t∈(0,1)上是幾乎處處連續(xù)的;

(iii) 對任意給定的N>0, 都存在一個函數(shù)kN(t)∈E, 使得

f(t,u)≤kN(t),t∈(0,1),u∈[-N,N],

3) 存在兩個函數(shù)u*(t)和u*(t)分別是方程(1)的下解和上解, 且在[0,1]上u*(t)≤u*(t). 則方程(1)存在一個解u0(t), 且滿足u*(t)≤u0(t)≤u*(t).

引理1說明如果方程(1)同時具有下解u*(t)和上解u*(t), 且u*(t)≤u*(t), 則方程(1)存在解.

文獻[5]對方程(1)解的存在性證明中, 使用了如下條件：

4)f: [0,1]×R→R是連續(xù)函數(shù), 并且滿足：f(t,u)≤p(t)u+r(t), 這里p(·),r(·)∈L1(0,1),‖p‖L1<1.

1 無窮多解的存在性

下面舉例說明方程(1)可能有無窮多解. 考慮方程:

(5)

先說明當f=sin(u(t)/t)時, 方程(5)的解確實存在, 即存在解函數(shù)u(t), 使得這樣選取的f(t,u(t))在條件(2)～(4)下均滿足引理1的條件1)～3).

顯然, 方程(5)滿足引理1中的假設1)和2). 下面驗證假設3). 只需找到條件(2)～(4)下原方程的一個上解和一個下解即可說明原問題解的存在性. 為此, 定義

u*(t)=-3t,u*(t)=-5t.

顯然, 對t∈[0,1],u*(t)≥u*(t). 容易驗證, 只要λ≥0, 則無論是共振條件(2)下, 還是非共振條件(3),(4)下,u*(t)都是原方程的一個上解,u*(t)是原方程的一個下解, 并且有u*(t)

因為共振條件下解的存在性已證, 因此不妨設u0是共振條件(2)下的一個解, 于是, 有:

定理1設u0是共振條件(2)下方程(5)的一個解. 令un(t)=u0(t)+2nπt,n∈N, 則un(t)是共振條件(2)下方程(5)的一組解, 并且若u0是線性形式的, 則這組un也是線性形式的.

在非共振條件下解的存在性也已經(jīng)得證, 不妨設u1是非共振條件(3)下的一個解, 于是, 有:

定理2設u1是非共振條件(3)下方程(5)的一個解. 令un(t)=u1(t)+2nπt,n∈N, 則un(t)是非共振條件(3)下方程(5)的一組解.

下面說明在非共振條件(4)下方程(5)有可數(shù)無窮多個解. 為此, 考慮如下初值問題：

(6)

解方程(6)可得一個關于初值c和變量t的解u=u(t,c), 將該解代入3個邊值條件, 得：

由方程(7)～(9)中得到的c, 即為對應方程真解的初值, 因此, 方程(5)產(chǎn)生無解或者唯一解或者多解乃至無窮解的原因就是邊值條件(7)～(9)所得的方程有幾個解c, 每個c都唯一確定了原方程的一個解u=u(t).

下面證明在條件(9)下, 原方程依然有無窮多解. 在條件(7)～(9)下的解分別記為u1,u2,u3.

證明思路： 假設u2是條件(8)下原方程的一個解, 則根據(jù)已有的結(jié)論可知un=u2+2nπt也是解； 并且這些解在t=0以外都是無處稠密的, 因為取任意的δ∈(0,1), 對任意相鄰的兩個un都有

un(δ)-un-1(δ)=(u2+2nπδ)-[u2+2(n-1)πδ]=2δ.

所以只要證明了在條件(9)下原方程的解可以逼近在條件(8)下的解, 則即說明了在條件(9)下原方程依然有無窮多解.

2 數(shù)值計算方法

(10)

(11)

根據(jù)常微分方程初值問題解的唯一性, 可以得到方程(11)的唯一解u(t,c)=x1(t,c), 于是, 令

g(c)=x1(1,c)-αx1(β,c)-λ.

顯然g(c)的零點c*必滿足邊值條件u(1)-αu(β)=λ微分方程的初值. 于是, 可以通過求c*, 得到與原邊值問題等價的初值問題, 從而通過求解初值問題得到原問題的解. 而c*的存在性也同樣由原方程解的存在性保證, 即如果先找到較簡單的函數(shù)是原問題的上下解, 則c*一定存在.

關于λ,{λn}的選取, 本文考慮非負的情況, 由文獻[3-5]可知, 在λ取值超過某個正數(shù)λ*時原方程無解, 該正數(shù)λ*是原問題分支結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點, 即λ*是方程

(12)

[1] MA Ru-yun, Castaneda N. Existence of Solutions of Nonlinearm-Point Boundary-Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2001, 256(2): 556-567.

[2] ZHANG Zhong-xin, WANG Jun-yu. On Existence and Multiplicity of Positive Solutions to Singular Multi-point Boundary Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2004, 295(2): 502-512.

[3] MA Ru-yun. Positive Solutions for Nonhomogeneousm-Point Boundary Value Problems [J]. Comput Math Appl, 2004, 47(4/5): 689-698.

[4] ZHANG Zhong-xin, WANG Jun-yu. The Upper and Lower Solution Method for a Class of Singular Nonlinear Second Order Three-Point Boundary Value Problems [J]. J Compu Appl Math, 2002, 147(1): 41-52.

[5] MA Ru-yun. Multiplicity Results for a Three-Point Boundary Value Problem at Resonance [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2003, 53(6): 777-789.