一類具功能反應捕食系統的定性分析

房玉志, 魏鳳英

(福州大學 數學與計算機科學學院, 福州 350108)

考慮具有功能反應的捕食系統:

(1)

其中:d>0;e>0;g(x)為食餌種群的增長率;φ(x)為捕食者的功能反應函數. 文獻[1]研究了g(x)=a-bxm(a>0,b>0, 00, 0<θ<1)當m=θ=1/2,a=c=1時系統(1)的結果; 文獻[2]研究了當m+θ=1,m=1/n,n>2為正整數時系統(1)的結果; 文獻[3]討論了當1/2≤m=θ<1, 且使函數φ(x)=x1/m為偶函數時系統(1)的結果; 文獻[4]研究了當m=θ=1/n,n>2為正整數時系統(1)的結果. 系統(1)的其他結果參見文獻[5-7]. 本文研究當m=θ=k/n,n>2, 1≤k

(2)

(3)

考慮系統:

(4)

1 系統的平衡點及其性態

定理11)O(0,0)是系統(4)的鞍點;

2) 當A1>b時,E1(b-1/k,0)是系統(4)的鞍點； 當A1

(5)

由y+P2(x,y)=0解得y=bxn-xn-k, 做變換T:ξ=x,η=y+P2(x,y), 在原點O(0,0)充分小的鄰域內, 存在逆變換T-1:x=ξ,y=η-ξn-k+bξn, 變換T將系統(5)化為

根據文獻[8]中定理7.2知,O(0,0)是系統(4)的鞍點.

2) 系統(4)在E1(b-1/k,0)處對應的線性系統矩陣

當A1>b時,E1(b-1/k,0)為系統(4)的鞍點; 當A10, trJE1=b-(n-1)/k(A0A1-A0b-bk)<0, 于是,E1(b-1/k,0)為系統(4)穩定的焦(結)點.

余下與2)同理可證.

2 系統的極限環

證明： 取Dulac函數[9]B(x,y)=xαyβ, 其中:

證明： 存在性. 由定理1中3)知, 奇點E2是不穩定的焦點或結點, 可作為環域內境界線. 下面構造環域外境界線. 首先, 過E1(b-1/k,0)做直線

從而, 系統(4)的軌線與l2相遇時均自外向內穿入; 而R3O和OE1:y=0是積分軌線, 于是閉合曲線OE1R1R2R3O構成環域外境界線, 且其上除鞍點外無其他類型的奇點, 故由Poincare-Bendixson環域定理可知, 系統(4)在域D內存在包圍奇點E2的極限環.

(6)

(7)

其中:

φ(y)=1-e-y;

f(x)=F′(x)=nb(x+x0)n-1-(n-k)(x+x0)n-k-1.

經驗證, 系統(7)滿足文獻[10]中定理的條件. 從而, 廣義的Lienard系統(7)在帶形區域{x-x0

綜上所述, 本文研究了一類具有功能反應的兩種群捕食系統極限環的存在性, 改進并推廣了目前已有的結果, 是繼m+θ=1,m=1/n,n>2[2]后又一個較普遍的結果, 解決了m=θ為有理數的情形. 上述系統雖對有理數具有普遍性, 但仍不能解決無理數的情形, 并且無法得到m≠θ更一般的結果.

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