鉆柱軸向與橫向耦合振動的有限元分析

閆 鐵，王雪剛，李 杉，畢雪亮，韓春杰

（1.東北石油大學，黑龍江大慶163318；2.大慶油田有限責任公司采油工程研究院，黑龍江大慶163318） ＊

綜上述可知，鉆柱單元的線性變形描述為

式中，

由式（7）和式（8）可表示鉆柱單元發生變形時的動能和勢能為

鉆柱軸向與橫向耦合振動的有限元分析

閆 鐵1，王雪剛1，李 杉2，畢雪亮1，韓春杰1

（1.東北石油大學，黑龍江大慶163318；2.大慶油田有限責任公司采油工程研究院，黑龍江大慶163318）＊

鉆柱在鉆井施工過程中的受力狀況十分復雜，鉆柱軸向與橫向振動的耦合影響著整個鉆進過程。以定向井鉆柱為研究對象，利用有限元法建立了對整體鉆柱進行受力分析的數學模型。在對鉆柱單元進行線性分析的基礎上，考慮鉆柱橫向振動對軸向變形的影響，建立了鉆柱耦合振動的動力學方程，編制了計算程序，計算出了鉆柱發生軸向與橫向非線性耦合振動的共振頻率。

鉆柱；耦合振動；非線性耦合；定向井；共振

在鉆井施工過程中，鉆柱的振動情況復雜多變，是引發鉆井事故的原因之一。鉆柱的受力狀況十分復雜，尤其在定向井穩斜鉆進過程中，由于井底不平、鉆頭牙齒間歇壓入巖石和巖石的間歇破碎，導致鉆柱發生軸向振動；同時，由于鉆柱偏心和井眼彎曲造成鉆柱的橫向振動。因此，鉆柱軸向與橫向振動的耦合影響著整個鉆進過程，研究鉆柱的耦合振動規律對鉆井施工具有現實意義［1－3］。

1 鉆柱耦合振動模型的建立

鉆柱主要包括鉆桿柱和底部鉆具組合2部分。井底鉆具組合部分主要由鉆鋌、減震器及鉆頭等組成。將鉆柱進行力學模型抽象和簡化，只考慮由鉆桿和鉆鋌組成的簡單桿柱系統，其模型如圖1。根據鉆柱形態，圖1中1、2、3、…、n－1段為鉆桿段，n為鉆鋌段。

圖1 定向井鉆柱模型

根據圖1的簡化模型可以建立相應的數學模型。在建立動力學模型時，作2個假設：

1） 鉆柱與井眼內壁都是剛性的，且鉆柱的橫截面是圓環形。

2） 鉆柱是微小變形的彈性體，并且鉆進過程中，鉆柱軸線只是略微偏離井眼軸線［4－7］。

2 模型求解

2.1 建立單元剛度矩陣和質量矩陣

在建立鉆柱模型的基礎上，選取任意的鉆柱單元在局部坐標系下進行分析，單元端點編號為i和j，單元長度為l，鉆柱單元如圖2所示。

圖2 鉆柱單元分析

2.1.1 鉆柱單元的軸向變形描述

根據桿單元的線彈性變形性質，設軸向變形函數為

鉆柱單元軸向變形的初始條件為

可得鉆柱單元的軸向變形描述為

式中，Nu為形函數，且

2.1.2 鉆柱單元的橫向變形描述

根據鉆柱單元分析，鉆柱單元發生橫向彎曲變形時，單元有4個位移參數，設單元的橫向變形描述函數為

鉆柱單元橫向變形的初始條件為

將式（5）帶入式（4）得

式中，Niv、Niθ、Njv、Njθ為形函數，且

2.1.3 建立單元的剛度矩陣和質量矩陣

綜上述可知，鉆柱單元的線性變形描述為

式中，

為考慮鉆柱單元軸向與橫向運動的耦合效應，將鉆柱單元橫向變形引起的單元軸向變形疊加，鉆柱單元橫向轉角引起的單元軸向變形為［8］

由式（7）和式（8）可表示鉆柱單元發生變形時的動能和勢能為

由式（9）和式（10）可知，鉆柱單元的等效剛度矩陣和等效質量矩陣為

式中，ρ為單位長度鉆柱的質量，kg／m；E為彈性模量，kPa；A為單元的橫截面積，m2；I為單元的截面慣性矩，m4。

2.2 矩陣求解

2.2.1 坐標轉化

為了建立整體鉆柱的動力學方程，需要將鉆柱單元的剛度矩陣和質量矩陣在局部坐標系下的形式轉化為在整體坐標系下的形式。設單元部分與豎直部分的夾角為α，由節點位移矢量經坐標變換可得坐標轉換矩陣為

式中，α為鉆柱單元的井斜角；φ為鉆柱單元的方位角。

通過矩陣轉換可知在整體坐標系下，單元的質量矩陣和剛度矩陣為

2.2.2 整體坐標系下總體剛度矩陣與質量矩陣的迭加求解

將式（14）～（15）所得的整體坐標系單元矩陣進行分塊，得到第i個鉆柱單元的剛度矩陣和質量矩陣的分塊矩陣。根據有限元分析的思想，將單元分塊矩陣進行組合，得到整體鉆柱分析的總體單元矩陣和剛度矩陣為

至此，建立的整體坐標下鉆柱系統的運動方程為

式中，C為系統的阻尼矩陣；F為系統振動的激振力矩陣［9－10］。

為研究鉆柱系統的結構性能，故求解鉆柱的自由振動方程，得

由式（19）可得鉆柱系統運動的頻譜方程為

將矩陣M和K帶入式（20）求解，可得無阻尼情況下鉆柱系統的軸向與橫向振動耦合時的固有頻率矩陣為

主對角線上的數據即為各個階數對應的鉆柱固有振動頻率數值的平方，進而得到各階振動固有頻率。鉆井過程中要避免鉆頭處受到外界干擾而產生的振動頻率接近鉆柱系統的耦合固有頻率ω。

3 實例分析

以大港油田某定向井為例進行分析。該井的設計數據為：井身剖面類型為直—增—穩—增—穩；造斜點為2 250m；設計方位角為0°；第1造斜率為2.4°／30m；第2造斜率為3°／30m；靶點測試深度3 721.8m；視平移712.6m；完鉆深度3 791.8m。

在三開穩斜段所使用的鉆具組合為：?215.9 mm鉆頭×0.3m＋?172mm導向馬達（1.5°）×8m＋?203.2mm穩定器×1m＋?165mm無磁鉆鋌×8.5m＋?165mmMWD×9.14m＋?158.8mm鉆鋌×51m＋?127mm加重鉆桿×191.1m＋?127 mm鉆桿。

鉆井參數：鉆壓50～80kN；排量28～32 L／min；泵壓18～22MPa。

利用Delphi軟件計算該鉆柱軸向振動的振動頻率，并與鉆柱耦合振動的振動頻率進行對比，如圖3所示。

圖3 濱X井鉆柱的軸向振動和耦合振動頻率對比

由圖3可知：橫向變形的發生使得鉆柱耦合振動的頻率分布趨于集中，非共振區域更加明顯。這充分說明在鉆井過程中，通過調整轉速以降低共振損害具有可行性。

4 結論

1） 采用有限元法分析了鉆柱軸向與橫向的耦合振動，并考慮了橫向變形引起的非線性變形因素，得出了鉆柱軸向與橫向振動耦合的規律。

2） 鉆柱的軸向與橫向振動發生耦合振動時振動頻率與鉆柱的本身材料性能有關，可以通過優選鉆具避免共振的發生。

3） 在鉆井施工過程中，應該調節轉速，避開共振轉速，降低鉆柱受到的共振損害。

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Finite Element Analysis of Longitudinal and Lateral Coupled Vibration of Drillstring

YAN Tie1，WANG Xue－gang1，LI Shan2，BI Xue－liang1，HAN Chun－jie1
（1.Northeast Petroleum University，Daqing163318，China；2.Production Engineering Research Institute，Daqing Oilfield Co.，Ltd.，Daqing163318，China）

The force on the drillstring is very complex in the process of the drilling wells.The longitudinal and lateral coupled vibration of drillstring impact on the whole process of the drilling.Taking the direction well drillstring as study object，the finite element was used to establish thewhole drillstring model.On the basis of the linear analysis of the drillstring module，consideringthe lateral vibration on the effect of the axial deformation，the dynamic equation of coupled vibration of drillstring was deduced.The resonant frequency of nonlinear longitudinal and lateral coupled vibration of drillstring was obtained by a computer program.

drillstring；coupled vibration；nonlinear coupled；direction well；resonance

1001－3482（2012）03－0039－04

TE921.2；TE242

A

2011－08－30

國家科技重大專項（2011ZX05021－006）

閆 鐵（1957－），黑龍江肇州人，教授，博士，主要從事石油鉆井工藝研究，E－mail：yant＠dqpi.edu.cn。