卡爾曼濾波在陀螺漂移時間序列模型中的應用*

張曉霞，曹詠弘

(中北大學理學院，太原 030051)

0 引言

隨著 MEMS(micro-electro-mechanical system，微電子機械系統)技術的發展，MEMS陀螺已經步入了全面發展的階段，基于MEMS慣性器件構建低成本的微型慣性導航系統也成為目前慣性技術領域的一個研究熱點。

MEMS陀螺誤差分為確定誤差和隨機誤差兩部分。其中確定誤差可以通過測試和標定的方法進行補償，而隨機誤差因為具有隨機性，只能用統計模型來描述。近年來，使用時間序列分析法來建立隨機誤差模型，是提高微慣性導航系統精度的一種有效方法。文獻[1]利用時間序列分析法對隨機漂移建立ARMA模型，但并未給出檢驗。文獻[2]采用時間序列分析法建立隨機誤差模型，然后基于該模型設計了卡爾曼濾波器，但文中在建立模型時，沒有根據實測的數據進行分析而是從實踐經驗中選擇模型。

基于以上的不足，文中同樣采用時間序列分析法來建模并利用Matlab時間序列工具箱對模型參數進行估計并檢驗，最后設計了卡爾曼濾波器對其進行誤差補償。

1 時間序列分析與建模

1.1 數據的采集、預處理與檢驗

采集信號以得到觀測數據，對該數據進行預處理并檢驗，以得到平穩、正態、零均值的時間序列，這是時間序列建模的基礎。

1)數據采集。MEMS陀螺輸出的實際數據是連續的，而建模要求是離散的，故要以一定的采樣頻率對其進行采集，得到離散序列 yk，k=1，2，…，350001。MEMS陀螺X軸的原始漂移信號見圖1。

2)數據預處理。建模前，首先保證數據為零均值、平穩、正態。陀螺原始數據中的常值分量可以通過求均值來提取，但有時信號中還可能存在一定的趨勢項，可以對其作一階或幾階差分處理。提取均值并作一階差分得到 xk，k=1，2，…，350000，xk=yk+1－ yk。

圖1 MEMS陀螺X軸的原始漂移信號

3)數據檢驗。對其上述處理過的數據進行檢驗，以確定是否符合建模要求。通過統計檢驗的方法[3]對處理后的數據進行檢驗，是平穩、正態、零均值，符合建模要求。

1.2 模型的建立與參數的估計

1.2.1 模型的建立

自回歸滑動平均模型(ARMA(p，q))的一般形式[3]：

其中：xk為隨機時間序列;p、q為自回歸階數和滑動平均階數;φi(i=1，2，…，p )、θj(j=1，2，…，q)為自回歸系數和滑動平均系數;ak為均值為零方差為的白噪聲。式(1)中，如果q=0，則ARMA(p，q)退化為p階自回歸模型，記為 AR(p);如果 p=0，則ARMA(p，q)退化為q階滑動平均模型，記為MA(q)。

模型的確定目前采用的主要方法有：相關特性(自相關函數和偏相關函數表現出不同的”截尾”和”拖尾”特性[4])、數理統計、信息準則等。在此采用相關特性和信息準則來確定MEMS陀螺的隨機漂移模型。

由圖2知：偏相關函數具有明顯的拖尾現象。因此，模型可選MA模型或ARMA模型。

圖2 自相關函數與偏相關函數

1.2.2 模型參數的估計

將ARMA(p，q)模型寫成矩陣的形式：

Yule-walker法[3]估計式(2)中的φ和θ，得到估計值

1.3 模型檢驗

陀螺隨機漂移模型的階次一般不會超過3階。在此采用armax函數[5]來估計參數并求出AIC和FPE值，從MA和ARMA模型中選擇AIC和FPE值最小的模型。所有模型及計算得到相應的準則值如表1所示。

表1 序列模型的定階

由表1知，ARMA(2，2)的AIC和FPE值最小。因此選擇ARMA(2，2)模型，表達式為：

xk由yk經一階差分得到，故MEMS陀螺隨機漂移時間序列模型ARIMA(2，1，2)的表達式：

其中：yk+1為 ARIMA(2，1，2)模型的輸出，即估計的時間序列，ak為白噪聲。

2 基于ARIMA(2，1，2)模型的卡爾曼濾波

基于ARIMA(2，1，2)模型，利用傳統的卡爾曼濾波算法來抑制誤差，其表達式：

C=[ 1 0 0]。W和V分別為均值為零方差為Q和R的白噪聲且互不相關。

卡爾曼濾波的遞推方程[6]：

預測、估計誤差方差陣分別為：

增益矩陣為：

預測、估計狀態分別為：

卡爾曼濾波是一種遞推算法，給定初始狀態向量及誤差方差陣，就可以通過上面的遞推方程進行最優估計。

3 仿真實驗

為了驗證上述建立的時間序列模型及卡爾曼濾波算法的有效性，對某三軸MEMS陀螺實測數據進行仿真。取卡爾曼濾波初值為：X(0)=[ 0 0 0]T，P0/0為單位陣。仿真實驗結果見圖3～圖5。同時也通過計算得到三軸數據濾波前后的均值和方差并進行了比較，如表2～表4所示。

圖3 MEMS陀螺X軸濾波前后對比圖

圖4 MEMS陀螺Y軸濾波前后對比圖

圖5 MEMS陀螺Z軸濾波前后對比圖

表2 MEMS陀螺X軸濾波前后數據比較

表3 MEMS陀螺Y軸濾波前后數據比較

表4 MEMS陀螺Z軸濾波前后數據比較

由圖3～圖5得：濾波前后曲線的變化規律沒有改變，而噪聲明顯減小，濾波后的隨機漂移至少減小了原來的50%。由表2～表4得：其均值在MEMS陀螺精度范圍內可認為沒有發生變化，但方差卻比濾波前明顯減小了一個數量級。仿真實驗表明：建立的ARIMA模型及卡爾曼濾波器有效減小了隨機誤差，明顯降低了隨機漂移，從而提高了陀螺精度。

4 結論

提出了一種MEMS陀螺隨機漂移誤差的有效補償方法。采用時間序列分析的方法對MEMS陀螺隨機漂移動態信號數據建立ARIMA模型，運用Matlab函數對參數進行估計，并基于該模型設計了卡爾曼濾波器對其進行誤差補償。最后對實測的MEMS陀螺數據進行仿真實驗，結果表明：建立的模型和卡爾曼濾波算法有效的減小了隨機誤差，明顯的降低了隨機漂移，從而提高了導航精度。

[1]王棟，萬寶琳.微機械陀螺隨機漂移誤差分析與建模[J].中國水運，2008，8(11)：147－148.

[2]李杰，張文棟，劉俊.基于時間序列分析的Kalman濾波方法在MEMS陀螺儀隨機漂移誤差補償中的應用研究[J].傳感技術學報，2006，19(5)：2215－2219.

[3]楊叔子，吳雅，軒建平.時間序列分析的工程應用[M].2版.武漢：華中理工大學出版社，2007.

[4]于寧莉，易東云，涂先勤.時間序列中自相關與偏相關函數分析[J].數學理論與應用，2007，27(1)：54－57.

[5]曹鮮花，吳美平，胡小平.MATLAB在光纖陀螺隨機漂移建模中的應用[J].航天控制，2007，25(1)：18－20.

[6]王志賢.最優狀態估計與系統辨識[M].西安：西北工業大學出版社，2004.