一種基于快速正切算法的捷聯尋北解算方法*

周召發，王振業，郭曉松，魏皖寧

(1西北工業大學，西安 710072;2第二炮兵工程學院，西安 710025)

0 引言

正切法常用于軸角測量[1]、光柵測角[2]、同步機角度測量[3]等高精測角場合。由于正切函數的在區間內的嚴格單調性，故其計算可靠性較高，因此正切法也廣泛應用于捷聯尋北中。傳統正切法有兩種實現方式，一種是直接查表方式，這種方式應用于捷聯尋北中;另一種采用八區間查表法來實現。不論采用哪種方式在建立表格時都需要占用較大的存儲空間，且在查詢時代碼執行效率較低，因此較難以用普通的單片機來實現?；诖瞬蛔?，文中提出了一種基于最小二乘原理的快速正切算法，下面將詳細介紹算法的實現過程。

圖1 理想狀態下載體方位角的解算模型

1 捷聯尋北原理

當陀螺儀工作于理想狀態(靜基座、無傾角、無誤差)時，可以通過陀螺敏感軸上的輸出與陀螺方位角之間的正切關系解算出陀螺的方位角，從而確定載體與真北方向的夾角。設地球坐標系(n系)xnynzn為東北天坐標系OENT，靜基座下陀螺坐標系(g系)xgygzg和載體坐標系(b系)xbybzb重合，zg軸與OT軸平行也指向天頂。地球自轉角速度ωie在n系中的投影為=[0 ωiecosφ ωiesinφ]T，其中φ為載體所在緯度。理想狀態下載體無傾角，設載體的方位角為φ，ωie的北向分量ωiecosφ在g系中的投影如圖1所示，此時ωx=ωNcosφ，ωy= ωNsinφ，其中 ωx、ωy為陀螺兩敏感軸 x軸和y軸的軸向輸出，可以通過傳感器測量輸出，如果不考慮漂移等誤差影響，載體方位角 φ =

2 八區間正切查表法

由上面的分析可知，理想狀態下，方位角φ與陀螺輸出ωx、ωy成簡單的正切關系，方位角φ的變化范圍為極性將方位角φ定位在小于的區間內，實現八細分，如表1和圖2所示。

表1 八細分區間

在文獻[1－4]中通常進行八細分后就不再往下分，而是根據所需精度，建立0°～45°的正切值表，然后采用軟件查表法求得相應的角度準確值。如果要達到10″的求角精度，則至少要建立45個60×6的數組，如果用浮點數建表，則至少需要127K的制表空間，這就增加了單片機的實現難度，另外采用查詢方式求角，需要通過循環查詢或多次比較才能得到所對應的角度值，雖然精度較高，但代碼執行效率較低，因此需要找到一種快速高效的正切算法來克服傳統正切查表法帶來的不足。

圖2 八細分區間示意圖

3 基于最小二乘原理的快速正切算法

線性最小二乘擬合在科學實驗的統計方法中經常使用。它的具體操作過程是從一組實驗數據(xi，yi)中擬合出函數關系y=f(x)，擬合的標準是使(f(xi)－yi)的平方取極小值。數學描述如下：

用線性函數：y=f(x)=ax+b

擬合離散數據：(xi，yi)，i=0，1，2，…，n

在最小二乘意義上有：

解出a與b的值，則得到線性最小二乘函數。

基于最小二乘法原理可以對反正切函數在0°～45°區間內進行分段線性化。由上述分析可知，根據陀螺敏感軸上的輸出值ωx、ωy的極性和的比值可以確定方位角φ所在的區間，然后結合捷聯尋北30″的尋北精度的實際要求在八區間細分的基礎上再進行分段，最后采用最小二乘法實現對各段的線性擬合。用最小二乘實現分段線性擬合的實現流程如圖3所示。

通過程序可以得到其分段表達式如表2所示。

圖3 用最小二乘原理實現分段線性擬合流程圖

表2 作用區間分段表達式

圖4 誤差曲線

由圖3可知，誤差μ嚴格控制在30″以內，完全滿足捷聯尋北的實際要求。通過計算得出采用12個分段函數就能將求角方法誤差控制在1'以內，占用存儲空間為0.14K;采用29個分段函數就能將求角方法誤差控制在10″以內，占用存儲空間為0.34K。

4 結論

從仿真結果可以明顯看出算法能有效控制誤差，說明文中提出的快速算法是切實可行的。從算法實現來看，當要控制精度在30″以內時，快速算法只需存儲51個數據，即只需占用0.2K的存儲空間;如果用直接查表法，則需要存儲43200個數據占用約169K的存儲空間;如果在八區間細分的基礎上再采用查表法，也需要存儲5400個數據占用21.2K的存儲空間，因此在30″精度時，快速算法相對于八區間基礎上的查表法節省了106倍的存儲空間，相對于直接查表法，節省了844倍的存儲空間。說明文中提出的快速算法極大的縮小了數據存儲所需空間，因此更容易選取合適的單片機型號;且程序執行相當簡單，這樣就極大的提高了程序的執行效率。

[1]張恒，馮旭升，薛東方，等.基于正切算法的軸角數字轉換器設計[J].軍械工程學院學報，2010，22(3)：40－43.

[2]藺小軍，史耀耀，汪文虎，等.光柵信號軟件細分技術及其誤差分析[J].工具技術，2006，40(10)：72－74.

[3]于恩祥.同步機角度——數字轉換的一種新方法及其實現[J].吉林大學自然科學學報，2001(1)：53－56.

[4]唐小琦，劉世峰，王平江，等.正切法莫爾條紋信號幅值分割細分的誤差分析[J].測量學報，2007(2)：8－11.