高斯投影獨立坐標系投影面和投影帶選取算法的研究

王 輝

(四川省測繪產品質量監督檢驗站，四川成都610041)

一、引 言

按照城市測量規范、工程測量規范等規范要求，城市、工程平面坐標系統的選擇，應以長度變形值不大于2．5 cm/km為原則。當長度變形值不大于2．5 cm/km時，應采用統一的高斯-克呂格投影(簡稱高斯投影)3°帶平面直角坐標系。當投影變形值超過規范要求時，通常采用增加抵償高程面或改變中央子午線的方式建立高斯投影的平面直角坐標系。

然而，采用嚴密的計算公式計算投影變形值需要計算參考橢球的幾何量、曲率半徑等，還要進行高斯投影坐標正算等，計算過程復雜，需要一定的大地測量學基礎。某些項目，為了簡化計算，地球曲率半徑千篇一律采用一固定常數，計算方法不嚴密，容易出現投影抵償面、中央子午線選取不合理或投影變形值超限的問題。為此，本文對投影變形值的技術方法進行了研究，利用曲面擬合的方式，推算出一套簡單、可行的投影變形值計算公式，并通過試驗分析，驗證了此計算方法的精度及可行性。

二、獨立坐標系統建立原理

實量邊長投影到高斯投影面上的變形影響可表示為

式中，Δs1為實測邊長歸算到參考橢球面的投影變形值，與歸算邊高出參考橢球面的平均高程Hm成正比，為負值;Δs2為將參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的長度，與歸算邊兩端點距離中央子午線的平均距離ym成正比，其值總為正。消除或減弱投影變形的思路，就是改變Hm或ym來調整Δs1、Δs2的數值大小，利用正、負抵消的原理削弱邊長的投影變形，即通過增加抵償高程面或改變高斯投影中央子午線位置的方法來消弱投影變形。

三、簡易算法研究

1．常規算法

Δs1通常由下列公式計算得到

式中，s為歸算邊的長度，計算每公里投影變形時取值1000m;R為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑;M為子午圈曲率半徑;N為卯酉圈曲率半徑;A為歸算邊的方位角;B為歸算邊平均緯度;a為參考橢球的長半軸;b為參考橢球的短半軸;e為參考橢球的第一偏心率。

2．Δs1簡易算法

由上一節可知，Δs1的計算過程涉及橢球的幾何運算，計算較繁瑣，且對于地面固定一點，Δs1由于歸算邊方位角不同數值并不唯一，其值域為這對工程測量計算、分析而言很不方便。若計算過程中采用平均曲率半徑代替任意方位角上曲率半徑，計算方法將得到簡化，Δs1數值僅與地面點的緯度和大地高有關，其值也將是唯一的。通過計算分析，對于我國絕大部分陸域范圍而言(大地高4000m以內、緯度18°～54°之間)，利用平均曲率半徑計算Δs1與利用任意方向曲率半徑計算的Δs'1差值在1mm以內，對分析投影變形值Δs1幾乎沒有影響。

為了簡化算法，采用二次曲面擬合方式，利用在緯度0°～90°、大地高0～4000m之間均勻分布的14 661個點位上的Δs1值，計算得到Δs1的簡化計算公式為

式中，B為緯度，單位為度;Hm單位為km，Δs1單位為mm。

此公式適用于在2000國家大地坐標系、1980國家大地坐標系、1954北京坐標系采用的橢球體上計算邊長歸算到參考橢球面的投影變形值。當大地高低于4000m時，利用式(2)在上述3個橢球面上計算Δs1的最大殘差為0．46mm。擬合殘差如圖1所示。

圖1

四、Δs2簡易算法研究

1．Δs2常規算法

Δs2常規算法公式為

式中，Rm為參考橢球平均曲率半徑，y1、y2為歸算邊端點的橫坐標。

2．Δs2簡易算法

簡易算法的推導，也是利用了曲面擬合的方法。考慮到我國陸域范圍主要在北緯18°～54°之間，通常獨立坐標系不會超過100 km范圍(此時Δs2變形值大于10 cm)，曲面擬合時利用了均勻分布在緯度18°～54°、距離中央子午線150 km(經差0°～1．5°)之間的 19 783 個點位上的 Δs2。擬合的曲面方程為

式中，B為緯度，單位為度;ym單位為 km;Δs2單位為mm。

此公式適用于在2000國家大地坐標系、1980國家大地坐標系、1954北京坐標系采用的橢球體上計算邊長歸算到參考橢球面的投影變形值。當與中央子午線距離小于150 km(經差小于1°30')時，利用式(5)在上述3個橢球面上計算Δs2的最大殘差為0．73mm。擬合殘差如圖2所示。

圖2

五、每公里投影變形值公式

將式(3)、式(5)相加，即得每千米投影變形值簡化公式為

六、算 例

某測量項目，測區平均海拔為1155 m，平均緯度為26°46'，最邊緣距離標準3°帶中央子午線距離為50．3 km，則有

所以，Δs=Δs1+Δs2=143．9mm

顯然，每千米長度變形值超過允許值2．5 cm。

此時，需改變中央子午線位置，選擇一個合適的高程參考面，使得長度變形值小于限差要求，可視Hm為變量，讓Δs1等于Δs2，即

計算得到Hm值為0．199 km，這就是說，將地面實測距離歸算到1155-199≈955m的高程面上，長度變形值得到完全補償。

七、結束語

本文所提出的邊長投影變形值算法，不用計算橢球參數、即可進行高斯投影正算，算法簡單，易于操作。在算法推導過程中，使用了我國常見的2000國家大地坐標系、1980國家大地坐標系、1954北京坐標系采用橢球進行推導，算法通用性較好。通過擬合殘差分析，本算法計算得到的Δs1實測邊長歸算到參考橢球面的投影變形值和Δs2參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的長度變形值誤差優于1mm，具有較高的精度，在獨立坐標系建立工作中能得到很好的應用。

[1]武漢測繪科技大學測量平差教研室，測量平差基礎[M]．3 版．北京：測繪出版社，1996．

[2]孔祥元，郭際明，劉宗泉，大地測量學基礎[M]．武漢：武漢大學出版社，2006．