二維Josephson結陣列超導的渦旋Nernst效應＊

祁 飛， 呂建平， 劉 煥， 陳慶虎，2

(1．浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004;2．浙江大學物理系，浙江杭州 310027;3．中國礦業大學物理系，江蘇徐州 221116)

Nernst效應是一種有磁場情況下的熱電效應．在金屬或者超導體的一個方向加入溫度梯度，在橫向會產生一個電場響應．對于正常態金屬材料而言，Nernst信號很小，但對于第二類超導體，在超導轉變溫度Tc以下有顯著的Nernst信號．令人驚訝的是:在Tc以上，本預計較小的Nernst信號卻大得反常，這已引起了廣泛的關注［1-4］．對于這種反常，一種解釋為即使在超導轉變溫度以上，超導凝聚也已出現，只是沒有相干凝聚，從而并未產生超導電性．超導凝聚(或稱預配對)是反常的Nernst效應的起源．

通常來說有2種因素可導致Nernst效應:一種來源于準粒子;另一種來源于渦旋．Ong研究小組［3］的實驗表明，對于單層銅氧面的Bi-2201超導體，渦旋的貢獻是主要的，而對YBCO超導體，準粒子和渦旋都對Nernst效應有貢獻．目前的實驗研究對區分準粒子和渦旋對Nernst效應的貢獻仍十分困難．

本文模擬二維Josephson結陣列的電壓對溫度梯度的響應，模擬高溫超體的渦旋Nernst信號．其結果適用于渦旋起主要貢獻的高溫超導體，如Bi-2201超導體．

1 理論模型與模擬方法

在正方格子上的二維Josephson結陣列可用以下二維XY模型的哈密頓量描述:

式(2)中:Γ是決定馳豫的時間標度;Γi(t)在i點的熱漲落引起的噪聲電流滿足高斯分布

式(3)中，Ti為第i個格點的溫度．

在筆者的模擬中，時間和溫度的單位為?/(ΓJ0)和J0/kB．為方便起見，按慣例，單位采用約化形式，即令J0=?=kB=1．

磁場加在Z方向，溫度梯度加在X方向，因此，在該方向取開邊界條件．在X方向各格點的溫度以線性關系增加，則第i個格點的溫度為

式(4)中:T0為整個系統的平均溫度;δt是控制溫度梯度大小的參量．在模擬中，筆者取δt=0．1;i表示第i個格點．

在Y方向采用漲落扭轉邊界條件，保持相位的周期性，這樣可以在此方向應用快速Fourier變換，如此可極大地提高計算效率．渦旋在熱驅動下便由高溫的一端向低溫的一端運動．利用漲落扭轉邊界條件［5-6］直接測量Y方向上的電壓Vy．Nernst信號可由電壓計算得到

結合溫度梯度的具體加法，Nernst信號可以表示成

利用式(6)可直接計算Nernst信號的強度．

2 模擬結果與討論

為了確認模擬方法的可靠性，筆者首先模擬了該系統在電流驅動下不同磁通密度下的電阻值．在Josephson結陣列模型中，對于不同驅動電流、溫度，系統的電壓曲線隨磁通密度的增加呈現出明顯的先升后降的過程，圖1所示為該模型的V/I-f曲線．圖1中:I表示外加驅動電流;T表示系統溫度．該曲線在一些特定的磁通密度f下，如f=1/8，1/6，1/5，1/3，2/5，1/2等位置時出現系統電阻的極小值，且在這些特殊磁通密度下，渦旋會呈現出一定的規則排列．圖2所示為筆者模擬的系統在這些特殊磁通密度f下的渦旋在實空間中的分布．這些結論與文獻［7-8］的實驗結果基本一致，側面反映了本小組在研究二維Josephson結陣列的物理性質時所用的模擬方法是可靠的．

圖1 V/I-f曲線

圖2 超導渦旋在實空間的分布(白色格點表示渦旋所在位置)

將上述的電流驅動換成熱驅動，便可以計算Nernst信號．表1給出了在T0=0．6穩定時的幾種溫度梯度與Nernst信號的關系．顯然，改變式(6)中參量δt對Nernst信號影響不大，這一點說明了Nernst效應是系統的本征性質，而與溫度梯度的具體大小無關．

表1 不同溫度梯度下的 Nernst信號(T=0．6，f=0．125，L=64)

現在計算不同溫度下二維 Josephson結系統的Nernst信號與外加磁場的關系．無外場的二維Josephson結系統經歷Kosterlitz-Thouless相變，相變溫度為Tc=0．890 4J0，這個溫度也是超導相變溫度．因此，筆者特定選取溫度T的范圍為0．2～1．2，既包含了超導相變溫度以下又包含了相變溫度以上的情形．數值模擬獲得的Nernst信號如圖3所示．為了研究尺寸帶來的效應，筆者分別研究了尺寸L為32和64兩種大尺寸系統．其結果定性上沒有改變，說明筆者選取的系統尺寸所獲得的結果是可靠的．

圖3 不同溫度下Nernst信號曲線圖(左圖系統尺寸大小L=32;右圖系統尺寸大小L=64)

接下來分析其物理結果．首先，在超導轉變溫度(0．890 4)以上，如T=1．0和T=1．2兩種情況，系統的Nernst信號還是非常顯著的，這與高度各向異性的高溫超導在超導轉變溫度以上出現反常現象的Nernst信號完全一致［2］．其次，系統的Nernst信號隨外加磁場和溫度的增大都呈現出非單調行為，與單層銅氧面的Bi-2201超導體的Nernst信號的實驗結果完全一致．曲線的外形也與實驗結果一致，顯示了傾斜山丘的形貌(tilt-hill profile)．另外，“山脊”的位置大約在f=0．1處，也與實驗結果B=0．1Bc2一致．Bc2為上臨界磁場，可以大致定義為系統的磁場足夠大以致渦旋芯子占據了整個超導樣品．這里，f的定義也正是這種填充因子(filling factor)的意思，f最大可以為1．

可以定性給出在恒定溫度下系統的Nernst信號隨外加磁場非單調行為的物理解釋．在低磁場下，渦旋之間的相互作用可以忽略，因為渦旋比較稀薄，所以當磁場升高時，自由渦旋的Nernst信號可以線性疊加．在高磁場時，高密度的渦旋之間強相互作用阻止渦旋的熱運動，導致非常小的Nernst信號．這兩種機制存在競爭，在居間磁場下必然會產生一個極大值．在高于超導轉變溫度下，由于出現大量的渦旋-反渦旋激發，這也增加了渦旋的密度，導致Nernst信號下降，這就說明了隨溫度的升高Nernst信號下降的原因．

近年來，Andersson等［9］也給出類似模型的Nernst信號模擬結果，他們發現Nernst信號隨溫度升高單調地下降，與筆者的結果不一致，當然也不能描述實驗結果．該研究小組采用的小尺寸(L=16)并不是主要原因，因為筆者也模擬了L=16的系統，并沒有獲得與其相似的結果，而是得到與L=32系統定性一致的結果．筆者認為，他們的數值模擬方法在電壓的方向上也采用了開邊界條件，因此可能帶來強烈的邊界效應．筆者在電壓的方向采用了漲落扭轉邊界條件，實際上消除了邊界的阻礙．小尺寸可能加劇了這一邊界效應．

3 結論

利用XY模型模擬了二維Josephson結陣列在熱驅動下的Nernst信號，可以直接計算Josephson結陣列中的渦旋Nernst信號．發現渦旋Nernst信號隨磁場變化非單調變化行為，與Princeton大學Ong教授研究組在最佳摻雜和欠摻雜的Bi-2201單晶的實驗結果定性符合．渦旋Nernst信號隨著平均溫度變化亦非單調變化，而是隨著磁平均溫度的增大皆是先增加、后衰減．歸根結底，外加磁通密度及平均溫度改變了系統中渦旋的數目、性質及運動狀態．二維Josephson結是一個可以控制和調控的實際系統，該系統的研究結果可以提供第二類超導電性的渦旋Nernst信號的產生機制，因而具有重要的意義．

［1］Podolsky D，Raghu S，Vishwanath A．Nernst effect and diamagnetism in phase fluctuating superconductors［J］．Phys Rev Lett，2007，99:117004．

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［4］Li Lu，Wang Yayu，Naughton M J，et al．Magnetization，Nernst effect and vorticity in the cuprates［J］．Journal of Manetism and Manetic Materials，2007，310:460-466．

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［6］Kim B J，Minnhagen P，Olsson P．Vortex dynamics for two-dimensional XY models［J］．Phys Rev B，1999，59:11506-11522．

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［9］Andersson A，Lidmar J．Anomalous Nernst effect an heat transport by vortex vacancies in granular superconductors［J］．Phys Rev B，2010，81:060508．