大學物理教學中量綱分析與應用

白光富 胡 林 劉盛華

（貴州大學理學院物理系，貴州 貴陽 550025）

大學物理教學中量綱分析與應用

白光富 胡 林 劉盛華

（貴州大學理學院物理系，貴州 貴陽 550025）

量綱分析是重要的半定量分析方法之一，在大學物理教學實踐中，要培養和倡導學生在學習中靈活應用量綱分析解決問題，使教學更豐富和直觀.本文介紹量綱分析的基本理論及怎樣將量綱分析方法貫穿于教學中.

大學物理；半定量分析；量綱；Π定理

引言

量綱分析不僅是排除錯誤方法，更是洞察新現象、新規律的捷徑，對數字和物理量進行組織、分類的有效方法，是大學物理中的一種重要的半定量分析方法之一，它與數量級和對稱性一樣都是常用的半定量物理方法［1］.然而，很多教材對量綱分析的介紹很少［4、9、10］，甚至沒有；教學中，量綱分析由于各種原因沒有得到足夠的重視.本文將介紹量綱分析的基本理論并討論怎樣將量綱分析貫穿于大學物理教學中，讓學生熟練掌握這種重要的物理分析方法.

1 量綱分析的基本理論

1.1 量綱的定義

物理量的量綱是用于表示一個物理量怎樣由基本量（包括這些量的冪次）組合的式子，決定了該物理量的性質或種類［2，3］.一個物理量的量綱表達式dimD＝［D］＝LαTβMγ，其中，α、β、γ稱為量綱指數.量綱和單位的區別：單位是對量綱的量度，選擇哪種單位度量是任意的.比如長度量綱為［L］，單位可以用“m”，“cm”，“mm”等單位來度量.基本物理量的量度單位可以獨立地規定，而其他物理量的量度單位則可以根據其與基本物理量之間的關系式而導出，這些量則稱為“導出量”.

1.2 量綱分析的基本理論

齊次定理：凡是正確反映客觀規律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立［4～8］.由該定理還可得以下推論：

推論1：必須具備相同量綱的物理量，才可相加減，即只有同類物理量才可相加減.

推論2：量綱為1的數，其量綱指數均為零，有些物理量是無量綱的，比如純數“2”，或常數“π”，弧度的量綱指數規定為“0”.

推論3：三角函數、指數函數、對數函數的宗量的量綱必為1.比如，如果x具有非“1”量綱，因為

上式的求和不滿足和諧性原則，即不滿足推論1，顯然是無意義的.

推論4：每個物理量與它的單位必具相同的量綱.

Π定理：如果某物理問題涉及n個物理量P1，P2，…，Pn，而所選的單位制中有m 個基本量（n＞m），則由此可組成n－m個無量綱的量Π1，Π2，…，Πn，在物理量P1，P2，…，Pn之間存在的函數關系式

其可表達成相應的無量綱形式

Π定理反映出n個物理量中某一個物理量與其他物理量之間存在的關系，比如想了解物理量Pm＋j，則可由式（3）中解出

因為

所以物理量可表示為

因此通過式（6）可知，只要了解各物理量的冪次a1j，a2j，…，amj，就可以確定物理量的基本結構.而無量綱數Πj則可由其他知識而獲得，從而物理量pm＋j就可以確定下來.

當n＝m時，有兩種情況：

（1）若物理量P1，P2，…，Pn的量綱彼此相互獨立，則不能由它們組成無量綱的量；

（2）如果物理量P1，P2，…，Pn彼此不互相獨立，則它們可以組成無量綱的量.

以一例題說明Π定理的用法：一均勻帶電球體繞幾何對稱軸以恒定的角加速度ω在磁感應強度為B的勻強磁場中轉動，用量綱分析法分析帶電球體受到的磁力矩M.

分析：由于均勻帶電球體繞對稱軸轉動時形成電流，所以處于外磁場中將受到磁力矩的作用.本問題可定出5個主定參量，即球體的半徑R、角加速度ω、電荷體密度ρ、磁感應強度B、球體所受的磁力矩M.本問題涉及MKSA制中4個基本量，故這5個物理量的量綱分別為：

在MKSA制中可列出這5個物理量的量綱表，見表1.

表1

由于n＝5，m＝4，故根據Π定理，可構成1個無量綱積Π.

解代數方程組

通過分析可以得到Π定理解題的一般步驟：找出與待求物理量有關的物理量；選取單位制，寫出在該單位制中全部物理量的量綱；列出量綱表；根據量綱的齊次原則求出各物理量的指數；整理得出無量綱常數其他物理量的表達式.

2 量綱分析在大學物理教學中的應用

在大學物理中，學生首先接觸到的是運動學和力學內容，學生在中學階段對物理學總是認為物理學推理性強，邏輯嚴密，實驗測量可達到很高的精度，而忽視了量綱分析等半定量方法的重要性，甚至有人認為定性是貶義詞.這時需要給學生強調量綱優越性，培養學生用量綱分析問題的意識.

1）介紹量綱分析可以幫助捕捉錯誤和回憶定義［3］.比如，要計算力，如果在計算中由于筆誤導致計算出錯，可以先檢查一下消除所有可以消掉的量綱后是否會得到“MLT－2”形式的量綱.

3）量綱分析還可以幫助猜想新的物理定律和規律［3，7］.研究自由落體中下落高度h與下落時間t的關系：若不考慮空氣阻力，不難認識到物體到達地面的時間可能與下落高度，物體質量和重力加速度有關，t∝hαmβgγ

由齊次性原理知各量綱指數間有如下關系

比如：“粘性摩擦系數”ζ的量綱為MT－1，擴散系數D的量綱是L2T－1，盡管ζ，D都以非常復雜的方式依賴于溫度、形狀、大小及流體的性質.再來看它們的乘積的量綱［ζD］＝ML2T－2，這正是能量的量綱，在流體的微觀機制中，具有能量量綱的量可能會想到分子熱運動具有的能量，這時會有如下式子：ζD＝Ethermal∝kBT，這與著名的愛因斯坦擴散定律僅差系數，但物理思想已經很清楚了.

通過上面的例子，不難看出雖然用量綱分析方法不能完全解決所提出的問題，但是它可以給出答案的部分重要信息，使得問題的進一步解決大為簡化.可以進一步引導學生應用量綱分析方法解決幾個熟悉的物理問題.

4）在學習氣體理論時可以用量綱分析推導克拉伯龍方程［8］.可以假定氣體的狀態由溫度、密度量綱決定，因為p有限不為零，且與溫度和密度的量綱無關，由Π定理可以認為有如下關系p＝f（T，ρ，R′），R′為有量綱的量，則由齊次性原理有或p＝ρRT此即為克拉伯龍方程.其中，C，R均為待定常數，需要通過實驗等其他信息得到，當然現在已經知道R為氣體常數.

5）在學習流體部分時可以用量綱分析推導圓柱繞流的阻力f的表達式，根據資料分析阻力f與流體的物性——密度（ρ）、粘度μ、球直徑d、運動屬性v有關.取ρ、d、v為基本量綱.由量綱表（表2）根據Π定理可以構造2個無量綱的組合.

表2

再由Π定理得Π1＝F（Π2）＝F（Re）

或

6）在近代物理部分也用到量綱分析［4，11］，例如：原子序數為z的原子中，第一玻爾軌道電子的速度為（以光速為單位因為由原子的固有量m、e、z和基本常數構成的速度的量綱式為：其中就應用了量綱分析法.出版社，2008.63－79通過量綱分析方法還可以得到電子的靜止質量、康普頓波長、電子的經典半徑、原子中外層電子“軌道”速度、外層電子沿“玻爾軌道”運動時的周期和頻率、角動量、原子的電矩和磁矩等公式及量綱.物理學中常數的壓縮與恢復在量子場論中經常使用，比如，令則有些公式可以變得比較簡單，比如：質點的能量公式可以寫為：E＝玻爾磁子公式可以寫為：

7）此外，量綱分析的思想相似性原理在生物學中或模擬實驗中也被廣泛使用［14、15］，在物理學與工程技術中從事實驗和實際計算時常須注意物理相似性及各量的量綱.

3 總結

量綱分析是大學物理中的一種重要的半定量分析方法之一，需要學生掌握量綱分析的基本理論，應作為一種工具貫穿在大學物理教學中，對培養學生分析問題和解決問題有很大的幫助.當然，也要讓學生認識到量綱理論就實質而言是具有局限性的，僅靠量綱理論并不能確定物理量之間的定量函數關系.

［1］ 趙凱華著.定性半定量物理學［M］.第二版.北京：高等教育

［2］ 徐婕，詹士昌，田曉岑.量綱分析的基本理論及其應用［J］.大學物理，2004，23（5）：54～58

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DIMENSIONAL ANALYSIS AND APPLICATION IN UNIVERSITY PHYSICS TEACHING

Bai Guangfu Hu lin Liu Shenghua
（Department of Physics，College of Science，Guizhou University，Guiyang，Guizhou 550025）

Dimensional analysis is one of the most important semi－quantitative analysis methods.In university physics teaching and practicing，it is needed to train and promote the students to solve problems with dimensional analysis method neatly during the study process，in order to make the teaching more informative and intuitive.In this paper，basic theory of dimensional analysis is introduced，and how the dimensional analysis method used throughout the teaching is discussed.

university physics；semi－quantitative analysis；dimension analysis；Πtheorem

2011－05－24；

2011－08－23）

貴州大學青年基金，貴州大學SRT項目，貴州大學物理實驗教學示范中心建設項目資助.

白光富（1983年出生），男，實驗師；主要研究方向：顆粒物質，從事《大學物理》教學和實驗教學.