簡化滾動軸承變速箱體的顯示動力學分析

鄭隆龍

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030）

滾動軸承是機械設備中承受載荷和傳遞運動十分重要的部件，但由于在力傳遞過程中滾動軸承的內外圈接觸變形，滾動體的接觸狀態十分復雜，很難建立精確的有限元模型，實現滾動軸承應力狀態的求解。

為準確地獲得行駛過程中車輛變速箱中的受力狀態，本文提出了一種滾動軸承的分析方法，考慮了軸承自身的幾何參數、材料特性，還需考慮軸承載荷、轉速、潤滑油等因素。

建模時，將滾動軸承中滾子模擬為彈性元件，連接變速箱齒輪軸和剛性殼體，把計算的軸承剛度賦予彈性元件。齒輪軸嚙合產生的振動，通過剛性殼體傳遞給變速箱，從而對箱體軸承接觸部位進行顯示動力學分析。

1 滾動軸承的剛度計算

1.1 滾動軸承的受力分析

在模擬簡化軸承滾子為彈性元件過程中，需要考慮滾動軸承在載荷的作用下產生對應的變形，即計算軸承的剛度（如圖1）。

圖1 軸承徑向載荷作用下的載荷分布

圖中，

Fr為徑向載荷；

δ為軸承內外圈的相對位移；

準i為第i個滾子中心線與徑向載荷方向之間的夾角；

fi為與徑向載荷方向之間夾角為準i的滾子承受的接觸載荷。

由受力平衡，可得

1.2 根據Hertz理論計算接觸變形

軸承在載荷作用下的接觸變形，是滾子和內圈之間的彈性變形δ1與滾子和外圈之間的彈性變形δ2之和，即

由圖1所示，在徑向載荷Fr的作用下，由hertz理論，軸承滾動體與內外圈接觸區域為橢圓，接觸區應力呈半橢球體分布，用半逆解法并通過積分變換，對線接觸問題給出方程求解[1]。

設Z為滾子的數目，r為滾子半徑，R1和R2分別為內外圈滾道半徑，E為彈性模量，Fr為徑向載荷，滾子和內外圈的有效接觸長度為l。

則滾子與內圈和外圈的接觸變形分別為

令

則Hertz接觸總變形為

1.3 靜態Hertz接觸下的軸承剛度

圓柱滾子軸承的剛度，是指在外載荷作用下，軸承內外圈在載荷方向上產生的相對位移[3]。即軸承的剛度

則處于靜態的滾動軸承接觸剛度計算公式

1.4 滾動軸承的油膜剛度

滾動軸承在實際運轉過程中，由于潤滑油的存在，滾子與內圈和外圈接觸的部位分別會有一層油膜，導致了滾動軸承中心實際的位移發生改變，同時改變了滾動軸承的剛度。

設滾子與內圈和外圈之間的油膜厚度分別為h1和h2，利用Dowson-Higginson公式計算，最小油膜厚度分別為[3]

其中，

α為潤滑油粘壓系數，（1/Pa）；

η0為潤滑油在大氣壓下的動力粘度（Pa·s）；

ni為內圈轉速；

r為滾子半徑；

R1為內圈半徑；

設

則

所以，滾動軸承的油膜剛度為

1.5 滾動軸承的剛度

綜上可知，滾動軸承的剛度，實際上為外載作用下同時考慮滾子與內外圈的變形和油膜彈性體的變形共同作用的結果。滾動軸承的剛度是由Hertz理論的接觸剛度和油膜剛度串聯而成[4]，即

2 有限元分析計算

2.1 有限元模型的建立

以某公司MF524型變速箱為研究對象，建立其有限元模型。如圖2、圖3所示。

圖2 齒輪箱整體模型

圖3 箱體中齒輪軸模型

MF524有5個齒輪軸，每個齒輪軸通過2個軸承與變速箱箱體相連。

本文主要進行箱體軸承接觸部位的動力學分析，不考慮齒輪軸嚙合應力變化，將箱體有限元模型設為柔性體，齒輪軸模型設為剛性體。模型建成后共有34萬個柔性單元。軸承簡化模型，一般將滾子設為一個彈性元件[10]或Gap單元[5]，使滾子兩端與內外圈固定相連，但此時軸承不能轉動，只能進行靜力學分析。

為了實現軸承接觸應力的顯示動力學有限元分析，本文將內圈固定在齒輪軸上，將滾子簡化為彈性桿，彈性桿的一頭與齒輪軸相連。將外圈簡化為一層剛性殼網格，與彈性桿的另一端相連，如圖4所示。

圖4 模擬軸承示意圖

并且這層殼網格與箱體軸承支撐處接觸，產生相對運動。

2.2 模型的約束加載和邊界條件

將變速箱固定在3檔檔位，約束變速箱上下半部接觸部分網格的6個自由度，將其固定；約束齒輪軸5個自由度，使其只能繞軸心轉動。將圖中軸承外圈殼體網格與箱體的接觸方式在Hypermesh中用contact_automatic_surface_to_surface。

MF524變速箱最大輸入扭矩為250 N·m，最大輸入轉速為6 500 r/min。輸入初始力矩為0，在0.2 s后扭矩勻速加載到150 N·m，無阻力矩。計算時長為0.2 s，步長為200。將齒輪軸擋位調到3檔處，扭矩加載在變速箱與發動機鏈接軸，即第三軸，輸入的初始轉速為3 000 r/min。

根據輸入軸的轉速和各個嚙合齒輪的傳動比，計算出各個軸的轉速。已知MF524是由GCr15軸承鋼制造，

彈性模量E=2E11，

油的粘度η0=0.02 Pa·s，

粘壓系數α=2.3×10-8Pa-1，

再由軸承滾子數量和尺寸Dw、l，可求得每個軸承的A、B、C的值，代入式（11），計算出軸承剛度，將此剛度賦予彈性桿。

由式（11）可以計算出變速箱中10個軸承的剛度，圖（3）中齒輪軸從左至右分別為1～4軸，后方為5軸，如表1所示。

表1 軸承參數及計算剛度

3 分析結果及討論

利用顯式動力分析程序ls-dyna進行計算。變速箱箱體的最大應力，一般分布在主軸軸承與箱體的接觸部分，或者幾何形狀突變的部位。分別在主軸的兩個軸承與上下箱體的接觸部分選取測點，導出應力圖。

圖5 變速箱體與主軸軸承4個測點分布與von mises stress

圖6 變速箱體與主軸軸承3個測點分布與von mises stress

而實際仿真結果，如圖7所示，變速箱體的高應力區域主要集中在主軸、即輸入軸軸承接觸部分的箱體附近。

圖7 變速箱箱體von mises stress分布圖

圖8 軸承滾子接觸應力圖

觀測變速箱齒輪轉速的變化情況（如圖9所示）。

圖9 主軸外圈線速度

由分析結果可知，變速箱體的應力隨齒輪軸旋轉成周期變化，齒輪軸旋轉越快，箱體應力越大。箱體主軸軸承附近承載了較大的應力。而滾子軸承的應力，主要集中在滾體與內圈接觸的位置，與文獻相符[5]。

4 結束語

針對圓柱滾子軸承的特點，通過力學分析，考慮彈性流體對軸承剛度的影響，得出了滾動軸承的剛度的理論計算方法。軸承的剛度由接觸剛度和油膜剛度串聯而成，與軸承的材料、尺寸、轉速、油膜性質等相關，表現出非線性變化。

變速箱體受力最大的區域，在主軸軸承附近，而軸承的主要應力分布區域，主要集中在內圈和軸承接觸的部分。由仿真結果可知，軸承附近的箱體最大應力約為105 MPa。

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