逼近法輸入求解花鍵反漸開線函數

麥承賢

（上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西 柳州 545007）

漸開線花鍵的齒面接觸好，承載力大，能自動定心，精度高，互換性好，容易獲得不同的齒側配合間隙，在機械傳動中應用廣泛。在漸開線花鍵的設計過程中，確定基本參數、計算選定內花鍵齒槽寬、外花鍵齒厚及其公差，這些都是比較容易的事；然而在運用齒槽寬、齒厚計算漸開線花鍵的檢驗項跨棒距和棒間距M 值時，則是一個復雜的過程。按照標準選擇齒側配合間隙的，可以從標準的附表里查找到對應的M 值；但很多時候可能選用不同于標準里的齒側配合間隙，這就需要對漸開線函數值求反函數，求出對應的角度值，再用這個角度值計算M 值。

1 漸開線函數的特性

1.1 漸開線函數

漸開線函數的公式為

式中，x為角度值，計算時應為弧度。

公式中有tan（x），而

tan（x）=sin（x）/cos（x），

作為除數cos（x）不能等于零，也就是說x 作為角度不能等于90°和270°。

作為應用在漸開線花鍵上，x的范圍只能在角度坐標的第一象限內，即

0°≤x ＜90°

1.2 函數關系曲線圖

根據前述，取角度值從0°～85°變化，漸開線函數值隨角度值變化的曲線如圖1所示。

圖1 漸開線函數與角度的關系曲線圖

從圖可以看出，曲線類似于一種拋物線，它在0°～15°范圍，基本貼近為0；在20°～50°范圍，接近于一條斜度很小的直線；在55°～75°范圍，類似一段圓弧；在80°～85°范圍，又轉成一條斜度很大的直線。

從機械傳動引用的漸開線花鍵具體齒形來說，漸開線應用的角度一般在20°～50°范圍，在此范圍漸開線函數值類似于直線變化，函數值與角度接近于線性關系，函數值隨角度的增大而增大。

1.3 反漸開線函數

漸開線函數是指知道inv x=c，求解x的值

x=inv-1（c）

這是沒有直接計算公式的一個函數，不能通過計算公式直接算出。

2 通常求解反漸開線函數方法

2.1 查表法

使用查表法需要在手頭上備有一份漸開線函數表。根據M 值計算過程中得到的漸開線函數值，在漸開線函數表中排列的函數值里查找，找到接近的兩個數值，計算的漸開線函數值應在這兩個數值之間，再用比例法計算求出對應的角度值。例如，假定計算的漸開線函數值為

inv ai=0.020 622

那么查函數表，得到兩個接近的值：0.020 533、0.020 775。

表中這兩個值對應的角度是：22°10′、22°15′。

亦即

invθ1=inv 22°10′=0.020 533，

invθ2=inv 22°15′=0.020 775。

按比例法，有

ai=θ1+（θ2-θ1）×（inv ai-invθ1）/（invθ2-invθ1）

代入數值，計算得

ai=22°11′51″，

對ai的值求漸開線函數，作驗證，有

inv 22°11′51″=0.020 622

證明方法正確有效。

查表法求解反漸開線函數，是最普遍的傳統方法，現今也還有很多人仍在采用，其求解過程比較復雜，求得的值有時會不夠精確，還必需保證有漸開線函數表隨時可查。

2.2 專用軟件程序計算

在計算機普及使用的現今，在基礎軟件上編制一個專用的程序，程序可以循環計算，使用步長遞增角度值變化計算對應的漸開線函數，當計算函數等于已知值時停止計算，輸出顯示角度值。例如，就有用Visual Basic、C++等軟件編寫的求解反漸開線函數的一些程序。

使用專用軟件程序求解反漸開線函數，方便快速，但這種方法只能是程序編寫者極其小范圍的人能夠采用。

3 Excel程序中逼近法輸入求解反漸開線函數

隨著計算機的普及，作為Office辦公軟件之一的Excel程序，已是應用很廣了，其可以直接輸入單個參數數值或者編制計算代式計算出結果。基本上每個工程技術人員都會應用Excel程序來做設計計算。逼近法輸入求解反漸開線函數，就是在Excel程序應用基礎上使用。

3.1 逼近法輸入求解釋義

逼近法輸入求解，就是以inv x=c的已知函數值c 做比較對象，假定一個角度θ，給θ 初步輸入一個在合理范圍內的數值，計算invθ，不斷地修正θ 值，使invθ 逐步接近于c 值，在一定的精度要求下，很容易得到invθ=c的成立，此時即可解得反漸開線函數x=θ。

3.2 確定角度和函數值需保證的精度

（1）角度值精度。角度數值在零件圖紙上都是以度分秒來標準及要求的，1（"）換算成（°）為

1″=0.000 278°，那么，在以度表示時，保留到小數點后第5位，精度足夠。

（2）函數值精度。在50°附近用兩個相差0.000 01°的角度，計算漸開線函數值，如

Inv 50.123 45°=0.322 161 48

Inv 50.123 46°=0.322 161 73

另在20°附近用兩個相差0.000 01°的角度，計算漸開線函數值，如

Inv 20.222 45°=0.015 424 917

Inv 20.222 46°=0.015 424 941

對比上面兩段角度區間的函數值，大角度區間的函數值，從小數點后到第7位開始變化；小角度區間的函數值，從小數點后到第8位開始變化，那么將函數值保留到小數點后第8位，精度足夠。

3.3 求解步驟

（1）完成文件準備。建立一個新的空白Excel文件，進行命名。如果是用Excel文件進行的漸開線花鍵聯結設計，也可以直接使用現有的文件，在新起行開始準備。

（2）做初始表格。如圖2所示，任意取7行8列表格，進行加實邊框、調整列寬、合并單元格、輸入描述文字。這里將表格取在B2到I8格。

圖2 初始表格示意圖

注意，一定要清楚表格的單元格代號，后續所說的某某格，都是以圖2顯示位置來說。

（3）向表格輸入初始數值、計算式、取值條件。前面所說，角度保留到小數點后第5位，精度足夠，所以將假定的角θ 設定為7個數字，在C3到I3格分別填入，初始建議用4、0、0、0、0、0、0，修正時方便，當然也可以用其他數字。

C4格，輸入計算式

使其為實際角θ的度數。

C5格，輸入invθ的計算式

=TAN（C4×3.141 59/180）-C4×3.141 59/180，計算式需要將度換算成弧度。

C6格，輸入設計計算的需要求解反函數的函數值：inv a，已知的數值，假如為0.063 625 28。

C7格，輸入條件取值式子

=IF（C5>C6，C5-C6，C6-C5），求invθ 與inv a的差值，用絕對值。

C8格，輸入條件取值式子

=IF（C7<0.000 000 01，C4，0），判斷invθ 與inv a在保留到小數點后第8位時是否已相等，若相等，顯示求解的a的角度值，否則顯示為0。

輸入時，將C5、C6、C7格設置為小數位數9位，這樣輸入后，表格顯示如圖3所示。

圖3 初始輸入后表格示意圖

（4）修正假定角θ的7個數字。首先，修正十位上的數字4：比較invθ 與inv a，invθ 大，將數字減小1，調整為3，再比較，已變小于了，則完成調整。

其次，修正個位上的數字0：先將數調整為5，比較invθ 與inv a，invθ 大，調整為4，還大，繼續，直到調整為1后，invθ 變小于了，此時完成調整。注意，在此有可能要重新調整到為0才變為小于。

再次，修正小數點后第1位的數字0：同樣，先將數調整為5，比較invθ 與inv a，invθ 小，調整為9，變大于，依次調整為8、7、6，都還是大于，最后調整為5，變為小于，此時完成調整。

注意，必須是數字剛好調小1個數值時，invθ 由大于變為小于，才算調整完成，數字正確。

依此類推，小數點后第2位到第5位的數字，按上述同樣的方法修正調整。

修正調整完成后，表格顯示如圖4所示。

圖4 修正調整數字后表格示意圖

（5）求解完成。至此，采用逼近法輸入求解反漸開線函數完成，C8格顯示求解得出的角度值，這是一個精確的數值。

4 后續的M 值計算

對于進行漸開線花鍵設計來說，完成了關鍵的求解反漸開線函數，后續的對漸開線M 值的計算就簡單了。

漸開線花鍵標準GB/T3478的單行冊、或者機械設計手冊，都有漸開線花鍵M 值計算公式，在同一個excel文件里求解反漸開線函數的表格之后的新起行，框出新的表格，作簡單描述、輸入已知數值、列入計算式，進行直接計算即可完成。

5 結束語

漸開線花鍵的M 值，是檢驗漸開線花鍵是否符合要求的重要數據，計算M 值的前提，是求解對應的反漸開線函數，傳統的查表法比較復雜，且容易弄錯；應用專業軟件編程求解，使用的范圍偏小難以普及。

運用excel程序為基礎，逼近法輸入求解反漸開線函數，適用方便，并不復雜，可以求解得到精確的角度值，它還可以跟之前的漸開線花鍵設計尺寸計算和之后的M 值計算連接起來，保存在同一個文件中。這種方法也算是應用專業軟件編程求解方法之一，它因為excel程序的普及而容易大范圍應用。

[1]GB/T 3478.1～9-2008，圓柱直齒漸開線花鍵（米制模數齒側配合）[S].

[2]郭 林.漸開線齒廓跨棒距和棒間距的實用計算方法[J].天津汽車，1995，（04）：24-27.