OFDM 中改進(jìn)的基于循環(huán)前綴的ML 迭代同步算法

孫文勝 ，潘婷婷

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，杭州310018)

準(zhǔn)確的同步是實(shí)現(xiàn)OFDM 系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一［1，7］。在OFDM 系統(tǒng)中有關(guān)定時(shí)和頻率偏差估計(jì)的同步算法主要有兩類:一類是數(shù)據(jù)輔助估計(jì)，即非盲估計(jì)，它基于導(dǎo)頻符號(hào)來實(shí)現(xiàn)估計(jì)［8］。另一類是非數(shù)據(jù)輔助估計(jì)，即盲估計(jì)，它是利用構(gòu)造信號(hào)的結(jié)構(gòu)(如基于循環(huán)前綴和虛擬子載波)進(jìn)行估計(jì)，這類算法克服了導(dǎo)頻符號(hào)浪費(fèi)信道資源的缺點(diǎn)［2］。

基于CP(Cyclic Prefix，循環(huán)前綴)的算法，最大特點(diǎn)是巧妙地利用了CP 的特性，不需要額外的冗余信息來同步［4］。1997 年，Van de Beek 提出了基于CP 的最大似然(ML)估計(jì)算法［3］，該算法的頻偏估計(jì)范圍小，定時(shí)估計(jì)較為粗糙，并且在多徑信道下性能較差，很難直接應(yīng)用到實(shí)際OFDM 系統(tǒng)當(dāng)中。文獻(xiàn)［5］提出利用數(shù)據(jù)幀內(nèi)各個(gè)OFDM 符號(hào)的CP分別進(jìn)行頻偏估計(jì)的算法，，該算法雖然能夠較好地糾正每個(gè)OFDM 符號(hào)內(nèi)的殘余頻偏，但其算法復(fù)雜度較高。本文基于原有的最大似然(ML)迭代算法［6］，提出了一種改進(jìn)的基于CP 的ML 迭代同步算法。

1 OFDM 系統(tǒng)模型

在發(fā)送端首先進(jìn)行數(shù)字調(diào)制生成復(fù)信號(hào)Xn，通過傅立葉反變換IFFT 將信號(hào)調(diào)制到N 個(gè)子載波上得到時(shí)域信號(hào)為

然后進(jìn)行并串轉(zhuǎn)換以及插入長為Ng的CP，構(gòu)成一個(gè)長為N+Ng的OFDM 符號(hào)。經(jīng)過多徑衰落信道后，受時(shí)延、頻偏以及高斯噪聲的影響，實(shí)際接收信號(hào)應(yīng)為

式中，L 為信道的多徑數(shù)目;αi為第i 徑信道的衰落系數(shù);τi為第i 徑的延遲樣點(diǎn)數(shù)，d，ε 分別為時(shí)延樣點(diǎn)數(shù)和頻率偏移，w(n)為離散加性高斯白噪聲。

2 基于循環(huán)前綴的迭代ML 同步算法

2.1 傳統(tǒng)的基于循環(huán)前綴的ML 同步算法

Van de Beek 等提出了利用OFDM 的CP 特性，在時(shí)域進(jìn)行聯(lián)合的定時(shí)和頻率估計(jì)算法。為了克服多徑效應(yīng)，引入了CP 作為保護(hù)間隔。CP 是信息符號(hào)中部分?jǐn)?shù)據(jù)的重復(fù)，顯然，與這部分?jǐn)?shù)據(jù)存在較大的相關(guān)性，利用這個(gè)區(qū)別來得到符號(hào)定時(shí)d 和頻率偏差ε 的最大似然估計(jì)算法。其基本原理是計(jì)算在(d，ε)二維空間中各個(gè)取樣值的后驗(yàn)概率的最大值。能量項(xiàng)r(d)，Φ(d)為

式中，r(n)表示接收到的信號(hào)，r*(n)表示取共軛，d表示CP 中最后一個(gè)采樣點(diǎn)的位置，ε 為歸一化最小頻率偏差。

最大似然函數(shù)為

式中，∠表示取相位。ρ 為r(n)和r(n+N)之間的相關(guān)系數(shù)的幅度，和分別表示信號(hào)和噪聲的方差，SNR 表示信噪比，定義SNR=。式(5)的ρ 可由式(6)得到:

由此得到的定時(shí)偏差d 和頻率偏差ε 的最大似然估計(jì)為:

上述ML 方法，如果只考慮N+2Ng個(gè)抽樣值，則在式(5)中求解最大值的范圍分別為d∈［0，Ng］和ε∈［－0.5，0.5］。從上述分析可知，ML 算法具有計(jì)算量小、冗余度低、算法實(shí)現(xiàn)簡單且具有可同時(shí)估計(jì)定時(shí)偏差和頻率偏差的優(yōu)點(diǎn)。但是，該算法的頻率偏差估計(jì)范圍小，定時(shí)估計(jì)較為粗糙，很難直接應(yīng)用到實(shí)際OFDM 系統(tǒng)當(dāng)中。

2.2 基于循環(huán)前綴的ML 同步迭代算法

利用ML 算法與迭代技術(shù)相結(jié)合，使式(5)中的2 個(gè)變量分離，最后達(dá)到最大化的目的。由于頻率偏差ε 是連續(xù)的，而定時(shí)偏差d 是離散的且存在有限個(gè)抽樣值，所以選擇d 作為迭代過程的迭代變量比選擇ε 要好。

在第j 次抽樣中，選擇d0，j為迭代起始點(diǎn)，定義di，j，εi，j分別為第i 次迭代的定時(shí)偏差和頻率偏差，其中j=0，1，…，N+Ng－1。則式(8)可寫為:

式(9)中計(jì)算所得的ε1，j代入最大似然函數(shù)式(5)，則式(5)改為;

式(10)中只含有一個(gè)變量d，于是可得

式(11)中得到的di，j代入式(9)重復(fù)上述過程，得到ε2，j，d2，j，ε3，j，d3，j，…，如此計(jì)算下去直到dn，j=dn+1，j，迭代過程結(jié)束。其迭代過程可簡單表示為d0，j→ε1，j→d1，j→ε2，j→…→εn，j→dn，j→εn+1，j→dn+1，j，until dn，j=dn+1，j。

其間得到許多迭代收斂對(duì)(di，j，εi，j)。設(shè)最后得到的迭代收斂對(duì)為(dn，j，εn，j)，其中，εn，j，將其代入式(5)計(jì)算其值，得:

則在集合{C0，C1，…，CN+Ng－1}中對(duì)應(yīng)于最大值的迭代收斂對(duì)即為所求。從以上的迭代過程看出，需對(duì)所有抽樣點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算，這樣做計(jì)算量大、用時(shí)多，而且存在較大的冗余，所以需要尋求一種簡化的方法。

3 改進(jìn)的基于循環(huán)前綴的ML 同步迭代算法

在頻率選擇性信道中，多徑效應(yīng)使得OFDM 符號(hào)在時(shí)間軸上被擴(kuò)散，CP 的前面一部分采樣點(diǎn)被碼間干擾ISI(Inter Symbol Interference)所污染，這時(shí)的相關(guān)峰值就不明顯。因此，有必要對(duì)符號(hào)同步粗估計(jì)，對(duì)得到的FFT 窗口位置進(jìn)一步地限制，其允許的范圍由CP 長度Ng和多徑信道彌散長度L 共同決定。

3.1 對(duì)相鄰多個(gè)符號(hào)多點(diǎn)相關(guān)求均值

循環(huán)前綴的起點(diǎn)和數(shù)據(jù)區(qū)的起點(diǎn)雖然存在一定差異，但是考慮到噪聲的存在，這種差異就可能被淹沒，而傳統(tǒng)的ML 算法采用單點(diǎn)求相關(guān)值，勢必造成影響。因此，考慮聯(lián)合M 個(gè)點(diǎn)求相關(guān)值取其平均。這里，M 的取值有一定的講究，取得太大會(huì)加大算法的復(fù)雜度，取得太小效果不明顯。

對(duì)于多徑衰落信道，選取信道變換相對(duì)緩慢以及相關(guān)性大的符號(hào)，因此，根據(jù)最大多徑時(shí)延τmax最大多普勒頻移fd來確定，M 取?1/(2fdT)」和?1/(τmaxFc)」的最小值比較合適。其中，T 為OFDM 的符號(hào)間隔，F(xiàn)c為子載波間隔，?」表示向下取整。因此，可以根據(jù)CP 長短和最大多徑時(shí)延來決定其大小。在SNR 比較高、多徑延時(shí)也不很明顯的情況下，可以縮小M;反之，可以取得大些。這樣做考慮了信道對(duì)相關(guān)值的影響從而使得抽樣點(diǎn)的幅度變化進(jìn)一步變小，使迭代算法的估計(jì)值更加準(zhǔn)確。因此，最大似然求相關(guān)的表達(dá)式改為

在信道衰落嚴(yán)重的情況下，考慮在一個(gè)OFDM 符號(hào)內(nèi)多點(diǎn)平均求相關(guān)值，減少噪聲的影響，以降低突發(fā)性相關(guān)尖峰的概率，式(13)可寫為:

其中，P 表示同一符號(hào)中的連續(xù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

3.2 減少參與運(yùn)算的CP 長度

在多徑衰落信道中，循環(huán)前綴的一部分抽樣點(diǎn)會(huì)受到ISI 影響，使得r(d)的值發(fā)生改變，從而影響整個(gè)迭代算法的準(zhǔn)確程度。由于多徑時(shí)延和多普勒頻移，CP 中只有Ng－τmax個(gè)點(diǎn)沒有被污染，因此，在運(yùn)算的時(shí)候，不是把所有的CP 都包括在內(nèi)，而是去掉絕大多數(shù)被多徑干擾的CP，在本文算法中，取1/4 的CP 長度。實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)SNR 和最大多徑時(shí)延調(diào)整參與運(yùn)算的CP 長度。則式(13)可寫為:

3.3 迭代間隔D 的研究

從以上的迭代過程看出，需對(duì)所有抽樣點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算，這樣做計(jì)算量大、用時(shí)多，而且存在較大的冗余，需要尋求一種簡化的方法。所以，選擇迭代起始點(diǎn)以長度D 作為間隔，也就是說選擇d0，j，d0，j+D，d0，j+2D，…進(jìn)行迭代即可。

這個(gè)D 的長度選擇是關(guān)鍵問題，取得太小，對(duì)降低算法復(fù)雜度效果不明顯，取得太大，會(huì)降低估計(jì)精度，所以，必須在算法復(fù)雜度和精度之間權(quán)衡。由于噪聲和多徑影響，每個(gè)符號(hào)的最大迭代長度D 是不同的。這種現(xiàn)象如圖1 所示，顯示了前30 個(gè)符號(hào)的最大迭代長度。由圖1 可知，每個(gè)符號(hào)的最大迭代長度是不同的。如果我們可以找到最適合的迭代長度D，只需計(jì)算d0，j，d0，j+D，d0，j+2D，…，就足以得到準(zhǔn)確的定時(shí)偏差和頻率偏差。

圖1 每個(gè)符號(hào)的最大迭代長度

為準(zhǔn)確估計(jì)不同的迭代長度D，在幀數(shù)大于1000 時(shí)，我們分別選取N 和Ng不同值的OFDM 系統(tǒng)作系統(tǒng)仿真。N 和Ng不同的OFDM 系統(tǒng)中迭代長度D 由表1 和圖2 所示。

表1 N 和Ng 不同的OFDM 系統(tǒng)中迭代長度D 的取值

圖2 Ng 和迭代長度D 的關(guān)系

由圖2 可見，準(zhǔn)確的迭代長度D 幾乎與循環(huán)前綴的長度Ng成線性正比關(guān)系。因此，選擇確切的迭代長度D=Ng，可以在保證取到最大迭代收斂對(duì)，取得準(zhǔn)確的定時(shí)和頻率偏差的同時(shí)，最大限度的降低算法復(fù)雜度

3.4 改進(jìn)的基于CP 的ML 同步迭代算法

根據(jù)以上改進(jìn)點(diǎn)及采取的改進(jìn)方案，可得到改進(jìn)的ML 迭代算法，其步驟總結(jié)和算法流程圖如圖3所示。

圖3 改進(jìn)的ML 迭代算法流程圖

(1)選擇初始化變量d0，j。并令j=0。

(2)將變量d0，j代入式(15)計(jì)算得r(d0，j)，接著由式(11)～式(13)求出對(duì)應(yīng)的迭代收斂對(duì)

(3)將得到的迭代收斂對(duì)代人式(12)，來確定最大似然函數(shù)Cj的值。

(4)令j=j+Ng，若j≤N+Ng－1，則返回執(zhí)行步驟(2);否則執(zhí)行下面的步驟(5)。

(5)從所有由步驟(3)得到的Cj值中確定最大值Cmax，則與之對(duì)應(yīng)的迭代收斂對(duì)為即為要求的定時(shí)偏差和頻率偏差。

4 仿真及性能分析

以MSE 為準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)本文算法與原迭代算法的性能比較。仿真中所用的參數(shù)為:子載波數(shù)N=1024，循環(huán)前綴Ng=256，子載波調(diào)制方式為QPSK。在改進(jìn)的算法中，M 取值為6。信道模型:4 徑衰落，多徑之間指數(shù)衰落，每徑延遲70 個(gè)采樣點(diǎn)。在多徑衰落信道下比較原迭代算法與本文算法的性能。

圖4 和圖5 分別為在多徑衰落信道對(duì)定時(shí)偏差和頻率偏差估計(jì)的性能。由圖4，經(jīng)比較，可看出，對(duì)于定時(shí)偏差的估計(jì)，兩者曲線的走勢相近，幾乎不相上下，隨著信噪比的增大，比原迭代算法估計(jì)精度略有提高，但是，本文算法的復(fù)雜度要相對(duì)低得多。由圖5，可看出，對(duì)于頻率偏差的估計(jì)，本文算法比原迭代算法估計(jì)精度要高，性能較好。

圖4 定時(shí)偏差的均方差的比較

圖5 頻率偏差的均方差的比較

可見本文算法對(duì)定時(shí)偏差和頻偏的估計(jì)比原算法的性能都要好，并且算法復(fù)雜度較低，這是因?yàn)樵惴ㄊ褂肅P 的所有采樣點(diǎn)，而CP 的一部分采樣點(diǎn)因?yàn)槎鄰叫?yīng)受到干擾，影響估計(jì)精度。而本文算法優(yōu)越的原因是采用多點(diǎn)相關(guān)求均值，且去掉了由于多徑影響受干擾的CP 部分，從而提高了估計(jì)精度。

5 總結(jié)語

本文對(duì)于基于CP 的ML 迭代同步算法進(jìn)行了改進(jìn)，得到了一種可在多徑衰落信道下獲得較準(zhǔn)確的定時(shí)估計(jì)和頻率偏差估計(jì)的迭代算法。本算法考慮到多徑信道的影響，利用多個(gè)OFDM 符號(hào)多個(gè)抽樣點(diǎn)相關(guān)求均值，去掉了CP 受多徑干擾的部分，達(dá)到增加同步估計(jì)精度的目的。并且提出迭代間隔D，有效的降低了算法復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，本文算法能夠有效的提高估計(jì)精度，有效的降低了算法復(fù)雜度。

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