Hermite正（半）定矩陣跡的幾個不等式

馮天祥

（東莞職業技術學院公共教學部，廣東東莞 523808）

1 引 言

1980年，R.Bellman在文獻[1]中得到了Hermite正半定矩陣乘積的不等式：

在該文中，R.Bellman還給出了Hermite正半定矩陣跡的不等式：

此后，對Hermite正半定矩陣跡的不等式問題的研究引起了國內外許多學者的關注，得到了很多有趣的結果.本文在眾多學者的基礎上，利用文獻[2]中的部分結果，結合一些初等不等式，采用矩陣恒等變形的方法，得到了幾個Hermite正（半）定矩陣跡的不等式.

2 幾個引理

在文章中約定用λ1(A) ≥ λ2(A) ≥ ...≥ λn(A)表示n階方陣A的特征值.

引理1[1]設A,B為n階方陣， ,αβ為實數，則

引理3[2]設 A= (aij)n×n,B = (bij)n×n，則有

引理4[2]設A,B為兩個n階Hermite正半定矩陣，則有

（7）式中等號成立?存在數s,t使 C = sA = tB .

3 主要結果

定理1 設A,B為兩個n階Hermite正半定矩陣，則有

證明：由引理1和引理3知

定理2 設A為n階Hermite正定矩陣，B為n階Hermite正半定矩陣，則有

證明：首先由引理4，有

又因為A正定，所以trA＞0， λ1( A) ＞ 0，于是有

由引理3，易知

再由（12）式得到，

證明：

再利用引理5中推廣的Holder不等式（7），得到

而

于是由（15）~（18）得到：

所以有

[1]R.Bellman.Some inequalities for Positive Definite Matrices[A]. In:E.F. Backenbach (Ed.),General Inequalities [C]. Proceedings of the International Conference on General Inequalities,Birkhauser,Basel,1980.

[2]王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式[M].北京：科學出版社，2007.

[3]宋海濤.一類矩陣跡不等式的推廣[J].工科數學，2002（1）.

[4]向以華.一類變分不等式問題解的存在性[J].重慶三峽學院學報，2010（3）.