線性流形上反次對稱矩陣反問題的最佳逼近

肖慶豐

（東莞職業技術學院公共教學部，廣東東莞 523808）

1 引 言

令

2 本文研究的問題

2.1 問題I的解

首先給出幾個引理

引理1 設A∈Rn×n，則下列命題成立.

1)A∈KSRn×n?SnA∈SRn×n?AT=SnASn

2)A∈KASRn×n?SnA∈ARn×n?AT=-SnASn

由（反）次對稱矩陣的定義易證引理1.

引理2[1]給定X1，B1∈Rn×k，設X1的奇異值分解為

其中

1）則方程AX1=B1在ASRn×n中有解的充要條件是

且在有解時，其解的通式為

其中

引理3 設X1，B1∈Rn×k，且X1的奇異值分解如（2）所示，則（1）式定義的集合S可表示為

其中

證 對任意A∈KASRn×n，有

SnA∈ASRn×n.令C= SnA，B2=SnB1.利用F范數的正交不變性有

將C=SnA代入上式，并化簡得

因此，集合S可用式（6）表示.證畢.

由（6）式易知，S是一個線性流形，關于問題I有下面結論.

其中

則問題I的解集SE為

其中A1如（7）式所示，U，U1，U2如（2）式所示.

證 對任意A∈S，由引理3有

由（12）式及F范數的正交不變性有

2.2 問題II的解

由定理1知，問題I的解集SE中的元素A可表示為

A1，A2分別由（7），（10）式所示.顯然SE是Rn×n中的一個閉凸集，因此， ?∈ Rn×n，在SE中存在惟一的最佳逼近解，下面給出A*的表達式.

證 對任意A∈SE，令

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