符號空間的2-移位自映射

宋曉倩

（重慶三峽學院數學與統計學院，重慶萬州 404100）

符號空間上的轉移自映射是研究拓撲動力系統的重要工具之一.1938年，Morse和他的學生Hedlund首次正式將符號動力學作為一個獨立的學科提出，[1]之后對于符號動力系統的轉移自映射的研究成為一個迫切的課題，這是因為在一定條件下，一個普通的動力系統可以和一個符號動力系統或其子系統拓撲（半）共軛.[2]拓撲傳遞性和混合性是研究動力系統軌道結構的兩個重要概念，關于他們的研究結果已經有很多.[3-5]本文在符號空間中，提出了一類新的轉移映射：2-移位自映射，并且探討了2-移位自映射的周期點及其一些拓撲性質，這些性質與轉移自映射的性質一致.

1 預備知識

設S=｛0,1,…,k-1｝，其中k≥2，稱S為狀態空間，賦S以離散拓撲，則S為緊致拓撲空間，作積空間

此處Z+表示全體非負整數的集合，則由于S為緊致拓撲空間，從而ZS+也是緊致的.

定義ZS+上的柱形如下：

其中 ai∈ S,n ＞ 0,m ≥0，例如

2 主要結果

下面我們在緊致拓撲空間ZS+上定義一個特殊的自映射2-移位自映射如下：

即在σ2的作用下， SZ+的點的坐標一次向左移一位，原第0個坐標抹去，依次類推，并稱 (SZ+,σ2)為2-移位單邊符號動力系統，下面證明σ2的一些動力性狀.

對于任意點x ∈ SZ+,如果存在整數n>0，使得(x) = x，則稱x為σ2的周期點；并把使得(x) =x成立的最小正整數n叫做它的周期，x相應的稱為n-周期點，σ2的全體周期點的集合記為P(σ2).

定義2[2]：若對任意非空開集 U,V ?SZ+，存在n＞0,使得σ2n(U )∩ V≠?.則稱σ2是傳遞的.

定義3[2]：若對任意非空開集 U,V ? SZ+，存在N＞0,使得σ2(U)∩ V ≠?.?n ≥ N，則稱σ2

是拓撲強混合的.

定理1：σ2有以每一個偶數為周期的周期點.

證明：任取 SZ+中的點 x = (x0,x1,x2…)，對每一個偶數2n，我們構造

從而 SZ+中的每一點都是σ2的周期點的極限點，即σ2的周期點集在 SZ+中處處稠密.

定理3：σ2是拓撲強混合的.即對任意非空開集U,V ? SZ+，存在N>0,使得

證明：設 U,V ? SZ+為非空開集，并設x∈U.由拓撲基的性質，存在N>0使得

因此σ2是拓撲強混合的.

由定義2,3及定理3可得下列推論：

推論1：σ2是拓撲傳遞的.

3 小 結

本文引入了符號空間上的一類新的映射，稱為2-移位自映射，并且探討了2-移位自映射σ2的一些性質，得出：

1）σ2有以所有偶數為周期的周期點.

2）σ2的周期點集在符號空間中處處稠密.

3）σ2是拓撲強混合的從而也是拓撲傳遞的.

這些結論于轉移自映射的結論基本相似.從而擴展了符號空間的研究范圍.

[1]Morse M.,Hedlund G.A.,Am.J. Math.,(60)1938, Reprinted in collected Papers of Morse M.2, World Scientific(1968).

[2]周作領.符號動力系統[M].上海：上海科技教育出版社，1997.

[3]陳綏陽，褚蕾蕾.動力系統基礎及其方法[M].北京：科學出版社，2002.

[4]張偉年.動力系統基礎[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5]熊金誠.拓撲傳遞系統中的混沌[J].中國科學：A輯，2005，35（3）.