一種高精度彈道導彈落點預測方法

劉彥君，喬士東，黃金才，成 清，黃 森

（國防科學技術大學 信息系統工程重點實驗室，長沙410073）

彈道導彈具有射程遠、再入速度快、精度高、雷達散射截面小等特點，被探測發現的概率小，被成功攔截的概率低[1].為了有效防御彈道導彈攻擊，當今世界各國都十分注重發展彈道導彈防御技術.能夠有效地預警是反戰術彈道導彈的前提和基礎.對于預警系統而言，準確、快速地預報彈道導彈的落點是反彈道導彈部署以及提高攔截概率的關鍵步驟[2，3].

目前，彈道導彈落點預測方法主要有2種.第一種方法是未考慮大氣動力影響的橢圓彈道理論.由于中遠程彈道導彈的自由段射程和飛行時間占全彈道的90% 以上[4]，且按照主動段終點獲得的給定速度和彈道傾角僅在地心引力下作慣性飛行[5]，軌跡是一段比較標準的橢圓弧.再入段受空氣阻力影響速度迅速減小，但其軌跡偏離原橢圓彈道不大，可以近似認為是原橢圓彈道的延伸[6，7]，因此橢圓彈道理論 有 重 要 意 義.牛 云[8]、劉 仁[1]、顧 鐵 軍[6，9]等 應用該理論對彈道導彈落點進行了預測.第二種方法對彈道導彈的自由段和再入段進行了詳細的受力分析，考慮大氣動力影響，對彈道進行外推預測.賀明科等[10]綜合利用縱向和橫向的射程數據，給出了精度較高的落點外推算法和較高的落點預報；王旭智等[11]提出利用外彈道微分方程組實時快速解算彈道的算法.但總體而言，前者算法復雜度、精確度均低，后者反之.2種方法均依賴彈道特性對落點進行預測，忽略了來襲導彈具有明顯軍事意圖的事實.本文以此為鑒，假定來襲導彈必定攻擊我方某軍事目標，提出了快速劃定目標搜索范圍并精確生成彈道導彈軌跡的落點預測算法.

本文所提算法基于當前彈道導彈高精度打擊的事實[12]，假定來襲導彈必定攻擊我方某軍事目標，以預警雷達探測的彈頭狀態數據（位矢與速度）為輸入，應用橢圓彈道理論對彈道導彈落點進行預處理，以預測誤差為半徑劃定落點范圍，從而判斷該范圍內最可能的打擊目標，若該范圍不存在打擊目標，則重新對導彈落點進行預處理；之后，以彈頭參數為種子基因，以預測彈道軌跡與探測彈道軌跡的擬合度為優化函數，基于4D外彈道模型應用遺傳算法對彈道導彈彈道進行精細處理，以便得到高精度的彈道導彈預測軌跡.若擬合程度未達到要求，則重新對導彈落點進行預處理，因此該步驟可以判定估計受襲目標的正確性.由于彈道導彈軌跡為特殊意義上的落點，對其進行高精度預測是落點預測的廣義內涵.圖1為算法流程圖.

圖1 算法流程圖

1 相關坐標系及假設

1.1 坐標系

①發射坐標系（OzXzYzZz）.坐標原點Oz位于導彈發射點，OzYz軸沿地心到發射點的連線指向外，OzXz軸沿發射點地面切線指向瞄準方向，OzZz垂直于另外兩軸并與它們構成隨地球旋轉的右手直角坐標系.

②地心慣性坐標系（OeXeYeZe）.坐標原點在地心Oe，OeXe軸過仿真零時刻0°經線與赤道交點向外，OeYe軸過仿真零時刻東經90°經線與赤道交點向外，OeZe軸沿地球自轉軸指向北極，OeXeYeZe構成右手直角坐標系.

1.2 假設

根據文獻[5，13，14]對環境進行如下假設：①彈頭不受隨機干擾；②彈頭為軸對稱體；③彈頭為低速旋轉穩定彈頭；④地球為勻質標準球體；⑤彈頭在被動段的再入段受大氣動力影響.

2 基于橢圓彈道理論的落點預處理算法

本文采用橢圓彈道理論旨在對彈道導彈落點進行預處理，以預警雷達測量誤差為擾動因子確定預測誤差，并以其為半徑劃定落點范圍，從而判斷該范圍內最可能的打擊目標，并估計落點時間.為計算方便，假設矢徑r由地心指向質點，速度v與當地水平線之間的夾角為θ，且規定速度在當地水平線上方時為正，反之為負.如圖2所示[8]，已知初始點的矢徑r0、速度v0以及v0和當地水平線的夾角θ0，rOB為守恒矢量方向，R為地球半徑；θF，vF分別為終點的夾角和速度.

圖2 橢圓彈道示意圖

在僅知彈頭矢徑和速度的條件下，文獻[5]給出了一種v0和當地水平線的夾角θ0的表達式：

文獻[7]給出了一種橢圓彈道射程角β和飛行時間t公式的推導方法，即

式中，f為萬有引力常數，m為地球質量，h為任一瞬時導彈對地心的動量矩，E為導彈的總機械能.

在已知觀測點D的矢徑、速度和射程角β后，過點D且平行于速度方向的平面Q1可以近似看作導彈的飛行平面，過地心Oe與點D且與彈頭速度方向垂直的平面Q2與過地心Oe與落點B且與彈頭速度方向垂直的平面Q3的夾角即為射程角β.根據上述事實，即推出落點坐標，如圖3所示.

圖3 落點求解示意圖

設平面Q1為A1x＋B1y＋C1z＝0，其法向量為n1＝A1i＋B1j＋C1k，則

式中，i，j，k為各軸單位矢量，通過式（10）可以解得平面Q1.

設平面Q2為A2x＋B2y＋C2z＝0，其法向量為n2＝A2i＋B2j＋C2k，則

由式（11）即可解得平面Q2.

設平面Q3為A3x＋B3y＋C3z＝0，其單位法向量為n3＝A3i＋B3j＋C3k，則

由式（12）可得平面Q3，則平面Q1、平面Q3與地球表面的交點就是落點B，設B為（x，y，z），則

解式（13）即可得落點坐標.在確定落點坐標后，可得到預測落點誤差[5]，然后以解析落點為圓心、以誤差為半徑，劃定搜索區域，并在該區域內搜索可能受打擊的軍事目標.當該區域內僅有一個目標時，則記錄其坐標；當有2個及2個以上目標時可根據一定的算法評估各目標的重要度[15]，并以重要度最高者為最可能受打擊對象.

3 基于4D外彈道模型的落點預測算法

式中，v為導彈速度，md為導彈質量，ρ為空氣密度，S為導彈截面積，FD為阻力符合系數，CD0為攻角為0的阻力系數，Cα為誘導阻力系數，αD為起始擾動引起的攻角，αe為動力平衡角，g為重力，Λ為科氏力[13].

由于FD，CD0，Cα，α2D等參數會隨彈頭運動狀態而發生微小變化，上述參數與S，md等均為未知量.如果能夠對這些參數進行高精度的估計，那么就可以得到彈頭被動段的飛行軌跡.文獻[16，17]以彈頭發射角為優化對象，應用改進的遺傳算法與龍格庫塔法的彈道求解方法求得了高精度的發射角.本文鑒于FD，CD0，Cα等參數的變化微小，而將它們視為常量，將式（14）中的系數－ρS（FDCD0＋）/（2md）用－ρλ代替，其中λ＝S（FDCD0＋）/（2md）.將λ作為優化對象，以預測彈道軌跡與探測彈道軌跡的擬合度為優化函數，基于式（14）的受力模型應用遺傳算法對彈道導彈彈道進行精細處理，得到高精度的預測軌跡.具體的算法流程如下：

①[Oorigin，Ttarget]＝Get（）；獲取觀測彈頭和目標的位矢.

②λ＝Random（）；隨機抽取優化對象λ的初始值.

彈頭在自由段僅受地心引力，受力分析相對簡單，文獻[5]有詳細研究，這里不再贅述.由于彈頭在再入段受到空氣阻力、升力、地心引力、科氏力的影響，并且由于彈頭為低速旋轉穩定彈頭，可忽略馬格努斯力的影響，因此適當修改文獻[13]中4D外彈道模型，即可得到再入段彈頭的受力微分方程：

③Eerror＝ODE（λ，Oorigin，Ttarget）；以λ，Oorigin，Ttarget為輸入，對彈道微分方程進行龍格庫塔積分，求得當參數為λ時的彈道與探測點和目標數據的誤差.

④If（Eerror＞K）；判斷誤差是否小于閾值K，若大于則轉向⑤；否則結束.

⑤Options＝gaoptimset（）；對遺傳算子進行適當設置.

⑥λ＝ga（＠ODE，Eerror）.進行遺傳操作并得到新的λ，轉入③.

4 仿真實驗

為驗證本文算法的有效性，設定發射坐標系中來襲導彈仿真彈道的初始條件，見表1，表中d為導彈直徑；設定我方3個軍事目標的地理位置及其重要度I，見表2；進行實驗，得到仿真實驗運行結果，見表3.

表1 來襲導彈仿真彈道初始條件

表2 我方3個軍事目標地理位置

由仿真實驗運行結果可看出，該算法對一枚處在自由段的上升階段的彈道導彈進行了落點預測.結果表明，運用橢圓彈道理論進行的落點粗估計用時0.042 6s，時間消耗很小，驗證了橢圓彈道理論計算復雜度低的優勢.由仿真時刻0.044～3.360s可知，落點預測模塊在錯誤判定軍事目標點A為最可能打擊對象后，經過誤差分析，成功地否定了這個判定，并重新確定了軍事目標點C為最可能打擊對象.這說明了該模塊中應用4D外彈道模型對來襲導彈進行的精細處理，不但可以驗證受襲軍事目標判定的準確性，而且可以得到精度較高的彈道軌跡數據.從整個運行時間看，彈道導彈落點預測模塊對目標A和C都進行了擬合，共用時3.47s，平均在2s以內，可滿足預警時間要求.

表3 仿真實驗運行結果

如圖4所示，以誤差Eerror為縱坐標，慣性坐標系的x軸為橫坐標，實驗結果表明，在導彈飛行的大部分彈道上預測彈道與仿真彈道的誤差在300m左右，在距離受打擊目標C點近20km處總誤差下降至83.12m，達到精度要求，并在相對距離上成功預測了導彈的落點，生成了高精度的導彈預測彈道，圖5表明導彈成功命中目標C.

圖4 預測彈道與仿真彈道誤差示意圖

必須指出的是，本文的算法考慮雷達測量精度不全面，且使用的測量初始值單一，更好的做法是對多組測量值進行濾波后得到一個估計的初始值.

5 結束語

本文以假定彈道導彈必定攻擊我方軍事目標為前提，避免了僅僅依靠彈道特性進行落點預測的弊端，先后運用了精度較低的橢圓彈道理論和高精度的4D外彈道模型，在預警要求時間內對來襲彈道導彈軌跡和落點進行了高精度預測，具有一定的實踐意義.雖然由于忽視了彈頭屬性參數的變化等因素，為預測帶來了一定的誤差，但算法總體滿足了導彈預警的時間和精度要求，并且當預警雷達探測到多個彈頭目標時，也可為多彈頭同時預測落點.

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