三維感應(yīng)測井?dāng)?shù)值計算與理論分析

張國艷，肖加奇，郝永杰

（中國石油集團長城鉆探工程有限公司，北京100176）

三維感應(yīng)測井?dāng)?shù)值計算與理論分析

張國艷，肖加奇，郝永杰

（中國石油集團長城鉆探工程有限公司，北京100176）

研究了三維感應(yīng)測井儀器在均勻、無限大、橫向各向同性（TI）導(dǎo)電地層中的響應(yīng)，分析了井眼傾角、水平電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、工作頻率等因素對接收線圈系感應(yīng)電動勢的影響。趨膚效應(yīng)對XX／YY方向感應(yīng)電動勢的影響比ZZ方向顯著；垂直井時，水平方向電導(dǎo)率可通過ZZ感應(yīng)電動勢求解；垂直電導(dǎo)率可通過XX／YY方向感應(yīng)電動勢和求得的聯(lián)合計算求解。傾斜角可通過交叉耦合電動勢計算。在低頻近似條件下，計算證明了可由三維感應(yīng)測井響應(yīng)提取地層各向異性電導(dǎo)率以及井眼傾角等信息，為三維感應(yīng)測井資料解釋奠定了基礎(chǔ)。

三維感應(yīng)測井；各向同性；橫向；數(shù)值計算；理論分析

0 引 言

據(jù)估計，世界上大約有30%的油氣儲存于砂泥巖薄交互層中［1］，現(xiàn)有的感應(yīng)測井儀器由于縱向分辨率還不夠高，往往將這種薄交互儲層誤認(rèn)為是高含水飽和度層而漏掉［2］。對水平井、斜井所體現(xiàn)出的宏觀各向異性地層的測量，傳統(tǒng)的感應(yīng)測井儀器不能解決。三維感應(yīng)測井儀器是由3個彼此垂直的發(fā)射線圈和與之平行的3個接收線圈組成，可以從三維角度識別地層特性，對薄儲層、復(fù)雜儲層的探測具有先天優(yōu)勢。貝克－阿特拉斯公司和殼牌公司聯(lián)合開發(fā)的三維探測儀3DEX［3－5］以及斯倫貝謝公司開發(fā)的三軸感應(yīng)測井儀器［6］的試驗已顯示出三維感應(yīng)測井在探測各向異性油藏方面的應(yīng)用潛力。

數(shù)值計算和理論分析對三維感應(yīng)測井儀器的設(shè)計、響應(yīng)特征的分析和數(shù)據(jù)反演處理技術(shù)的開發(fā)具有重要意義。目前國外已有大量文獻(xiàn)闡述了三維感應(yīng)測井的基礎(chǔ)理論及數(shù)值計算［7－11］，但是國內(nèi)詳細(xì)闡述這方面的文章卻很少。本文研究了三維感應(yīng)測井儀器在均勻、無限大、橫向各向同性（TI）導(dǎo)電地層中的響應(yīng)，分析了井眼傾角、橫向電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、趨膚效應(yīng)等因素對接收線圈系感應(yīng)電動勢的影響。

1 三維感應(yīng)測井儀器基本理論

三維感應(yīng)測井儀器的線圈系結(jié)構(gòu)（見圖1）由3個中心共點的、彼此垂直的發(fā)射線圈Tx、Ty、Tz和與其平行的3個接收線圈Rx、Ry、Rz以及3個屏蔽線圈Bx、By、Bz組成。當(dāng)發(fā)射線圈系向周圍發(fā)射正弦交流電時，在介質(zhì)中產(chǎn)生交變電磁場（一次磁場），根據(jù)電磁感應(yīng)原理，在該磁場中的接收線圈和屏蔽線圈將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。

為了抵消發(fā)射線圈在接收線圈中產(chǎn)生的直接耦合分量引入屏蔽線圈。所謂直接耦合是指發(fā)射信號在不經(jīng)過地層的情況下，由于磁通的閉合特性在接收線圈中直接引起的感應(yīng)信號。屏蔽線圈與接收線圈的繞線方向相反，匝數(shù)不等，在空氣中屏蔽線圈和接收線圈中產(chǎn)生的直耦電動勢相互抵消。

當(dāng)發(fā)射線圈系向周圍發(fā)射正弦交流電時，可同時測量接收線圈系上磁場（或感應(yīng)電動勢）張量的9個分量。磁場強度張量H表示成

其中，Hyx表示由x方向發(fā)射、y方向接收產(chǎn)生的磁場強度，其他分量定義依此類推。

圖1 線圈系結(jié)構(gòu)

計算過程中線圈等效為點磁偶極子，數(shù)學(xué)模型見圖2所示。許多地層（如砂泥巖薄交互層）表現(xiàn)為宏觀橫向各向同性（TI）地層［12］，也稱為單軸各向異性地層，其水平（橫向）電導(dǎo)率σh和垂直（縱向）電導(dǎo)率σv不相等，所以TI介質(zhì)的電導(dǎo)率在地層坐標(biāo)系中可表示為對角矩陣

圖2 數(shù)學(xué)模型

Zhdanov等［10］在Moran等［11］工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三維感應(yīng)測井儀器在無限大TI介質(zhì)中響應(yīng)的解析表達(dá)式。發(fā)射線圈為單位磁矩時，地層坐標(biāo)系下的磁場強度張量為

考慮到測井儀器的傾斜，需要引入儀器坐標(biāo)系，設(shè)地層參考坐標(biāo)系為OXYZ，沿X、Y、Z方向上的電導(dǎo)率分別為σh、σh、σv，儀器坐標(biāo)系為X′Y′Z′（見圖3）。圖3中α為井眼傾角，定義為地層坐標(biāo)系的Z軸和儀器坐標(biāo)系Z′間夾角；β為儀器方位角，定義為儀器在XY平面的投影與X軸之間的夾角。式（3）至式（8）為基于地層坐標(biāo)系的磁場計算公式，通過坐標(biāo)變換矩陣R可得到儀器坐標(biāo)系下的磁場強度H′。

圖3 儀器坐標(biāo)系和地層坐標(biāo)系

坐標(biāo)變換矩陣R可表示成

設(shè)地層坐標(biāo)系下發(fā)射線圈的磁矩M＝（Mx，My，Mz）T，儀器坐標(biāo)系下發(fā)射線圈的磁矩M′＝（M′x，M′y，M′z）T。當(dāng)發(fā)射線圈為單位磁矩時，地層坐標(biāo)系下磁場強度為H，公式見式（3）至式（8）。當(dāng)發(fā)射線圈磁矩為M時，地層坐標(biāo)系下磁場強度為HM，此時

坐標(biāo)變換后，

把式（10）代入式（11），整理得

其中，R－1為R的逆矩陣；Re（H′）、Im（H′）分別為儀器坐標(biāo)系下磁場強度的實部和虛部。接收線圈在儀器坐標(biāo)系的感應(yīng)電動勢

式（13）中，S為接收線圈的面積；N為接收線圈的匝數(shù)。感應(yīng)電動勢的實部與儀器坐標(biāo)系下磁場強度的虛部Im（H′）成正比。考慮到接收線圈與屏蔽線圈繞線方向相反，所以接收線圈系在儀器坐標(biāo)系的感應(yīng)電動勢

式中，Vijr、Vijb分別為接收線圈和屏蔽線圈感應(yīng)電動勢。本文只計算接收線圈系感應(yīng)電動勢的實部［10］。

2 數(shù)值計算及分析

利用程序?qū)θS感應(yīng)測井儀器的響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計算，并用理論公式和低頻近似公式進(jìn)行了分析。

線圈參數(shù)：發(fā)射線圈磁矩Mx＝My＝Mz＝1，發(fā)射線圈與接收線圈間距離L1＝20in＊，發(fā)射線圈與屏蔽線圈間距離L2＝15in，接收線圈X／Y／Z方向匝數(shù)Nr＝64匝，屏蔽線圈X／Y／Z方向匝數(shù)Nb＝27匝，接收線圈和屏蔽線圈X／Y／Z方向的面積均為Sr＝Sb＝0.03m2；工作頻率范圍20～220kHz。

地層參數(shù)：無限大、均勻、橫向各向同性地層，水平方向電導(dǎo)率σh和垂直方向電導(dǎo)率σv的變化范圍0.01～10S／m。

2.1 水平電導(dǎo)率和垂直電導(dǎo)率的影響

工作頻率f＝20kHz，α＝0（垂直井），β＝0，改變水平方向電導(dǎo)率σh（σv＝0.01S／m）和垂直方向電導(dǎo)率σv（σh＝10S／m）進(jìn)行了數(shù)值計算，結(jié)果如圖4所示。接收線圈系感應(yīng)電動勢只有3個主分量不為0，且Vxx＝Vyy，實際獨立的只有2個變量。隨著σh和σv的增加，Vxx呈增加趨勢；Vzz隨著σh的增加而增加，隨著σv的增加數(shù)值保持不變。

感應(yīng)電動勢表達(dá)式［6，13］

根據(jù)式（15）至式（17）得到電動勢3個主分量不為0，Vxx＝Vyy；Vzz只與σh有關(guān)，與σv無關(guān)；而Vxx、Vyy與σh和σv兩者都有關(guān)，數(shù)值計算結(jié)果和理論分析一致。且σh可根據(jù)式（16）計算得到，代入式（15），可求解σv。

考慮井眼一般傾斜情況（α＝60°），其他條件同上，改變σh和σv進(jìn)行計算，得到結(jié)果如圖5所示。3個主分量和XZ／ZX方向交叉分量不為0；Vxx≠ Vyy，Vxz＝Vzx；Vzz和Vxz數(shù)值都逐漸增加但是符號相反，Vxz數(shù)值為負(fù)說明此時感應(yīng)磁場方向和發(fā)射電流方向相差180°。

2.2 井眼傾角的影響

計算時工作頻率f＝20kHz；β＝0；σh＝1；σv＝0.1。改變井眼傾角α得到接收線圈系感應(yīng)電動勢變化如圖6所示。Vxz＝Vzx，其數(shù)值先增加后降低；Vzz隨著α增加而降低；Vxx、Vyy隨著α增加而增加。當(dāng)β＝0時，低頻磁場近似公式［10］

根據(jù)式（21）可以得到Vxz＝Vzx，且隨著α增加數(shù)值近似正弦變化，在α＝45°時達(dá)到峰值；井眼傾角α可通過Vxz／Vzx計算得到。根據(jù)公式（20），可以看出Vzz與（1＋cosα2）成正比。

圖6 感應(yīng)電動勢隨井眼傾斜角的變化

2.3 趨膚效應(yīng)的影響

研究趨膚效應(yīng)現(xiàn)象主要是計算感應(yīng)電動勢受電導(dǎo)率和頻率的影響。考慮電導(dǎo)率變化時電動勢的影響見圖5所示。隨著σh和σv增加，Vxx、Vyy的非線性比Vzz嚴(yán)重，即趨膚效應(yīng)對XX／YY感應(yīng)電動勢的影響顯著比ZZ方向強，趨膚效應(yīng)的影響可以從式（15）至式（16）分析，Vyy和Vxx比Vzz多了一項［－（k2h＋k2v）L2］eikhL，所以趨膚效應(yīng)對XX／YY感應(yīng)電動勢的影響比ZZ方向顯著。

改變工作頻率計算接收線圈組感應(yīng)電動勢時，α＝60°，β＝0，σh＝1，σv＝0.1，結(jié)果見圖7。Vxz＝Vzx；隨著頻率增加，可以看出趨膚效應(yīng)對XX／YY感應(yīng)電動勢的影響比ZZ方向顯著，趨膚效應(yīng)的影響可以通過公式（15）至式（16）分析。

圖7 感應(yīng)電動勢隨頻率的變化

3 結(jié)束語

研究了三維感應(yīng)測井儀器在均勻、無限大、橫向各向同性（TI）導(dǎo)電地層中的響應(yīng)，分析了井眼傾角、橫向電導(dǎo)率、垂直電導(dǎo)率、趨膚效應(yīng)等因素對接收線圈系感應(yīng)電動勢的影響。垂直井，水平方向電導(dǎo)率σh可通過ZZ感應(yīng)電動勢求解；垂直電導(dǎo)率σv可通過XX／YY方向感應(yīng)電動勢和求得的σh聯(lián)合計算求解。傾斜角α可通過交叉耦合電動勢Vxz／Vzx計算。趨膚效應(yīng)對XX／YY方向感應(yīng)電動勢的影響比ZZ方向顯著，這在儀器設(shè)計時應(yīng)考慮。

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Numerical Computation and Theoretical Analysis of Three－dimensional Induction Logging Tool

ZHANG Guoyan，XIAO Jiaqi，HAO Yongjie
（CNPC Greatwall Drilling Company，Beijing 100176，China）

In this paper examined are the responses of a three－dimensional（3D）induction well logging tool in an unbounded，homogeneous，transversely isotropic conductive medium，and analyzed is the dependence of the induced potential of the receiver array with respect to the relative dip angle，the horizontal conductivity，the vertical conductivity and the frequency respectively.The results show that the induced potential in the XX／YYdirection exhibits much stronger skin effect than the induced potential in the ZZdirection.Under the low frequency approximation，we found that the horizontal conductivity，the vertical conductivity and the relative dip angle can be resolved from the three－dimensional induction instrument response in a deviated borehole as well as in a vertical borehole.This provides the basis for the data interpretation of a three－dimensional induction well logging tool.

three dimension induction logging，isotropy，transverse，numerical computation，theoretical analysis

P631.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

2011－06－01 本文編輯 李總南）

王忠義，男，1959年生，碩士，高級工程師，從事測井方法與儀器研究工作。