一類奇異半線性橢圓方程解的漸近行為

周文書

(大連民族學院理學院，遼寧大連 116605)

一類奇異半線性橢圓方程解的漸近行為

周文書

(大連民族學院理學院，遼寧大連 116605)

利用緊致技巧、比較原理、Fatou引理以及Poincare不等式，研究了低階項關于梯度有自然增長條件的一類奇異半線性橢圓方程邊值問題解的漸近行為，闡明了此方程與相應的不含梯度項的線性橢圓方程之間的關系。

奇異橢圓方程;正解;漸近行為

考慮如下橢圓問題:式中，Ω為RN(N≥3)中有界區域，ε＞0，γ＞0，f為非負可測函數。有關問題(1)的研究背景見文獻［1］。本文指出，上述方程也與如下退化拋物方程有緊密聯系［2－4］:

則問題(1)當γ＜2時有解，而當γ＞2或者γ=2且λ1(f)＞1時無解。文獻［5－6］作者分別證明了問題(1)當γ＜1時解的唯一性及問題(2)當γ＞0時解的唯一性。文獻［7］作者證明了:如果f∈L∞(B1)且essinf{f(x);x∈B1}＞0，則當1＜γ＜時，問題(1)存在至少兩個解，其中B1={x∈RN;|x|＜1}。其他相關研究請參閱文獻［1，7－9］及其后所附參考文獻。

本文研究問題(1)及問題(2)的解當ε→0+時的極限問題，并且建立了上述問題與如下線性問題之間的聯系:

1 定理1的證明

為證明定理1，先證明如下幾個引理。

引理1對任意ε∈(0，1)有

uε≤ω幾乎處處于Ω。

證明注意到uε是問題(4)的一個弱下解，從而由標準的比較原理知結論成立。

引理2設0＜α＜1，則存在不依賴于ε的常數 C ＞0，使得

2 定理2的證明

先證明幾個引理。下述兩個引理的證明類似于引理1和式(5)，故略去。

引理3 對任意 ε∈(0，1)，有

這表明，w是問題(2)的一個弱下解，依文獻［5］中推論2.10(比較原理)知結論成立。

定理2的證明由引理3—引理5知，存在{uε}的一個子列(不妨仍記為{uε})及一個非負函數w∈H10(Ω)∩L∞(Ω)，w＞0幾乎處處于 Ω，使當ε→0+時有

uε→w于Ω(幾乎處處收斂)，

uε→w 于 L2(Ω)(強收斂)，

▽uε→▽w于L2(Ω)(弱收斂)。

對照定理1的證明，余下只需證明ω=w幾乎處處于Ω。對任意0≤φ∈(Ω)，有

［1］ARCOYA D，CARMONA J，LEONORI T，et al.Existence and nonexistence of solutions for singular quadratic quasilinear equations［J］.J.Differential Equations，2009，246:4006－4042.

［2］BARENBLATT G I，BERTSCH M，CHERTOCK A E，et al.Self－ similar intermediate asymptotic for a degenerate parabolic filtration － absorption equation［J］.Proc.Nat.Acad.Sci.，2000，18(97):9844 －9848.

［3］BERTSCH M，UGHI M.Positivity properties of viscosity solutions of a degenerate parabolic equation［J］.Nonlinear Analysis TMA，1990，14:571 －592.

［4］CHASSEIGNE E，VAZQUEZ J L.The pressure equation in the fast diffusion range［J］.Rev.Mat.Iberoamericana，2003，3(19):873－917.

［5］ARCOYA D，SEQURA de LENO S.Uniqueness of solutions for some elliptic equations with a quadratic gradient term［J］.ESAIM Control Optim.Cal.Var.，2010，16:327－336.

［6］ BOCCARDO L.Dirichlet problems with singular and gradient quadratic lower order terms［J］.ESAIM Control Optim.Cal.Var.，2008，14:411 －426.

［7］ZHOU Wenshu.Existence and multiplicity of weak solutions for a singular semilinear elliptic equation［J］.J.Math.Anal.Appl.，2008，346:107 －119.

［8］PORRU G，VITOLO A.Problems for elliptic singular equations with a quadratic gradient term［J］.J.Math.A-nal.Appl.，2007，334:467 －486.

［9］ ZHOU Wenshu.A singular nonlinear elliptic equation with natural growth in the gradient［J］.Math.Meth.Appl.Sci.，2008，31:1704 －1721.

［10］GILBARG D，TRUDINGER NS.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order［M］.Springer－ verlag，1998.

Asymptotic Behaviour of Solutions for a Singular Semilinear Elliptic Equation

ZHOU Wen－shu
(College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China)

By means of compactness techniques，comparison theorem，Fatou’s lemma and Poincare’s inequality，we study the asymptotic behaviour of solutions of boundary value problem for a singular semilinear elliptic equation with natural growth in the gradient，which appears in the study for a class of degenerate parabolic equations，and clarify the relations between this equation and the corresponding linear equation without gradient terms.

singular elliptic equation;positive solution;asymptotic behaviour

O175.25

A

1009－315X(2012)05－0466－03

2012－04－06;最后

2012－04－22

國家自然科學基金項目(10901030);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DC110109)。

周文書(1974－)，男，吉林懷德人，博士，教授，學校優秀學術帶頭人，碩士生導師，主要從事偏微分方程的理論和應用研究。

(責任編輯 鄒永紅)