基于WN齒輪強(qiáng)度的齒輪參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

穆曉凱，李玉光*，陳殿華，李成超

（大連大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

基于WN齒輪強(qiáng)度的齒輪參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

穆曉凱，李玉光*，陳殿華，李成超

（大連大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

本文結(jié)合具體的WN齒輪實(shí)例，以齒輪的強(qiáng)度富裕最小作為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，建立相應(yīng)的強(qiáng)度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB優(yōu)化工具箱的序列二次規(guī)劃法（SQP）對(duì)其設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而分析該齒輪傳動(dòng)參數(shù)對(duì)接觸和彎曲疲勞強(qiáng)度的影響。該優(yōu)化方法不但實(shí)現(xiàn)了WN齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時(shí)使設(shè)計(jì)出的齒輪裝置具有重量輕、體積小等特點(diǎn)，提高了設(shè)計(jì)效率，為WN齒輪傳動(dòng)的CAD設(shè)計(jì)提供了科學(xué)的理論依據(jù)。

WN齒輪；強(qiáng)度設(shè)計(jì)；MATLAB；優(yōu)化設(shè)計(jì)

1 引言

隨著現(xiàn)代化機(jī)器日益向高速、重載和結(jié)構(gòu)緊湊的方向發(fā)展，提高齒輪的承載能力已成為現(xiàn)代齒輪的研究方向之一。WN齒輪機(jī)構(gòu)是承載能力較高的一種新型齒輪傳動(dòng)，它具有制造工藝簡(jiǎn)單、壽命長等優(yōu)點(diǎn)，與漸開線齒輪系相比，齒面接觸強(qiáng)度和齒根彎曲強(qiáng)度以及耐磨性都很高，在齒輪尺寸和材料都相同的情況下，其承載能力至少為漸開線齒輪傳動(dòng)的1.75～2.5倍[1]。目前已大量應(yīng)用于冶金、礦山、石油、化工、煤炭、電力和建筑行業(yè)的各種機(jī)械設(shè)備上，并取得了良好的成果。

齒輪工作時(shí)，由于齒輪軸剛性不足或系統(tǒng)誤差的影響會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)和沖擊從而導(dǎo)致強(qiáng)度下降等工程問題，影響齒輪的正常工作，因此齒輪設(shè)計(jì)時(shí)主要考慮輪齒強(qiáng)度方面的要求。本文利用MATLAB語言中的二次規(guī)劃方法，在給定的載荷或條件下，建立相應(yīng)的強(qiáng)度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型并求解，從而改進(jìn)WN齒輪的強(qiáng)度設(shè)計(jì)方法。根據(jù)齒輪相關(guān)知識(shí)可知，WN齒輪機(jī)構(gòu)的強(qiáng)度主要與其形狀參數(shù)和傳動(dòng)參數(shù)有關(guān)。所以，本文從齒輪的強(qiáng)度出發(fā)，選取各個(gè)輪齒參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的非線性、有約束的優(yōu)化方法探討WN齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的建立

本研究從大負(fù)載時(shí)的強(qiáng)度出發(fā)，保證強(qiáng)度富裕最小的前提下，力求WN齒輪的質(zhì)量輕、體積小為設(shè)計(jì)目標(biāo)。要保證強(qiáng)度設(shè)計(jì)的合理性，就必須選擇合適的輪齒形狀參數(shù)及傳動(dòng)參數(shù)。

WN齒輪輪齒形狀如圖1所示。輪齒的形狀參數(shù)為：齒數(shù)Z、模數(shù)M、螺旋角β和齒寬B及凸凹齒齒廓部分的圓弧半徑ρ等。工作參數(shù)有負(fù)載Fn、運(yùn)轉(zhuǎn)速度v、傳動(dòng)比i、壓力角αn等。

圖1 WN齒輪的齒形

2.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

根據(jù)文獻(xiàn)[2]的理論分析和文獻(xiàn)[3]研究結(jié)果可知，WN齒輪傳動(dòng)的彎曲疲勞應(yīng)力值和接觸應(yīng)力值可由式(1)、(2)求得。

2.2 約束條件的確定

為使優(yōu)化求解的參數(shù)更好地滿足工程實(shí)際的要求，擬根據(jù)WN齒輪傳動(dòng)的工程要求，設(shè)定如下約束條件：

3 MATLAB優(yōu)化工具箱及優(yōu)化方法

傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是按照常規(guī)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則、設(shè)計(jì)規(guī)范，把設(shè)計(jì)變量處理成確定型變量，建立常規(guī)的數(shù)學(xué)模型，由于此設(shè)計(jì)方法計(jì)算量大、可靠度低，很大程度上限制了結(jié)果的最優(yōu)化。MATLAB優(yōu)化工具箱是以數(shù)學(xué)規(guī)劃為理論基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為輔助工具,尋求最佳機(jī)械設(shè)計(jì)方案的現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法之一。它是在給定的載荷或環(huán)境條件下對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的性態(tài)、幾何尺寸關(guān)系或其他因素的限制（約束）范圍內(nèi)，選取設(shè)計(jì)變量，建立目標(biāo)函數(shù)并使其獲得最優(yōu)值的一種新的設(shè)計(jì)方法。MATLAB語言的優(yōu)化工具箱選用最佳方法求解，初始參數(shù)輸入簡(jiǎn)單，語法符合工程設(shè)計(jì)語言要求，編程工作量小，優(yōu)越性明顯[4]。MATLAB分總包和若干個(gè)工具箱，其中優(yōu)化工具箱的應(yīng)用包括：線性、非線性最小化，方程求解，曲線擬合，二次規(guī)劃等問題中大型課題的求解方法，為優(yōu)化方法在工程中的實(shí)際應(yīng)用提供了更方便、快捷的途徑。

在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，大多數(shù)屬于非線性的約束優(yōu)化問題[4]，早期的方法通常是通過構(gòu)造懲罰函數(shù)來將有約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題進(jìn)行求解。現(xiàn)在,這些方法已經(jīng)被更有效的基于K-T（Kuhn–Tucker）方程解的方法所取代。MATLAB優(yōu)化工具箱采用序列二次規(guī)劃法（SQP）求解約束優(yōu)化問題，它是將原問題化為一系列的二次規(guī)劃子問題進(jìn)行求解，通過使用BFGS法構(gòu)造變尺度矩陣，以保證超線性收斂性，調(diào)用fmincon函數(shù)求解約束優(yōu)化問題。

多變量約束非線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型表示為:

利用MATLAB解決工程中的實(shí)際問題，其具體步驟如下[5]：根據(jù)實(shí)際的最優(yōu)化問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行具體的分析和研究，選擇恰當(dāng)求解方法；根據(jù)最優(yōu)化方法的算法，選擇MATLAB優(yōu)化函數(shù)然后編寫求解程序，最后利用計(jì)算機(jī)求出最優(yōu)解。

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例計(jì)算及分析

例題：某煉油廠煙汽輪機(jī)用的高速雙圓弧齒輪箱設(shè)計(jì)計(jì)算。設(shè)計(jì)技術(shù)要求如下：轉(zhuǎn)矩T1= 7098342N·mm，電動(dòng)機(jī)功率P = 9 000 kw，轉(zhuǎn)速n2= 1485 r/min，鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速n1= 6054 r/min。采用普通優(yōu)化方法得到設(shè)計(jì)參數(shù)：Z1= 26，Z2= 106，β= 30°，B =190 mm，Mn =8 mm，αn= 24°，按中心距a = 610 mm進(jìn)行設(shè)計(jì)。大小齒輪材料均選用42CrMo。

4.1 建立目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量

WN齒輪的強(qiáng)度主要與齒形結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作參數(shù)相關(guān)，要保證齒輪強(qiáng)度富裕最小，故取本齒輪傳動(dòng)的齒數(shù)Z1、模數(shù)Mn、壓力角αn、齒寬B、螺旋角β等參數(shù)為設(shè)計(jì)變量。

在實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，考慮到各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的重要程度不同，所以使用加權(quán)系數(shù)構(gòu)成一個(gè)綜合目標(biāo)函數(shù)：F(X)=αf1(X)+γf2(X)。設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)的重要程度，適當(dāng)選擇加權(quán)系數(shù)的大小，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)彎曲強(qiáng)度與接觸強(qiáng)度的多目標(biāo)最優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4.2 約束條件的確定

根據(jù)WN齒輪的傳動(dòng)要求及本齒輪實(shí)際的傳動(dòng)特點(diǎn)，設(shè)定如下約束條件：

4.3 應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱求解

將目標(biāo)函數(shù)f(x)編入目標(biāo)函數(shù)M文件myfun.m，將非線性約束條件編入約束函數(shù)M文件mycon.m。在命令窗口調(diào)用優(yōu)化程序：

根據(jù)參數(shù)的工程要求和國家標(biāo)準(zhǔn)系列，對(duì)計(jì)算出的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量進(jìn)行圓整和修正，最終確定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量值如表1所示。

表1 優(yōu)化前后計(jì)算結(jié)果對(duì)比

將優(yōu)化值與原始值分別代入目標(biāo)函數(shù)，即代入彎曲和接觸應(yīng)力計(jì)算公式(1)和(2)，然后將他們的值進(jìn)行比較，對(duì)設(shè)計(jì)例題有：

對(duì)于設(shè)計(jì)例題而言彎曲強(qiáng)度提高了18%，接觸強(qiáng)度提高了19%。通過實(shí)例的計(jì)算結(jié)果可以看到，通過MATLAB優(yōu)化工具箱優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)使齒輪的強(qiáng)度提高，同時(shí)使整個(gè)齒輪裝置的尺寸減小，降低了齒輪重量。

5 結(jié)論

針對(duì)WN齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)和工程實(shí)際要求，利用MATLAB優(yōu)化工具箱探討了WN齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究不但實(shí)現(xiàn)了WN齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，還揭示了該齒輪傳動(dòng)的幾何與動(dòng)力學(xué)參數(shù)的相互影響關(guān)系。本優(yōu)化方法簡(jiǎn)單可靠，提高了設(shè)計(jì)效率，為WN齒輪傳動(dòng)的CAD設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。結(jié)果表明，本優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅提高了齒輪的強(qiáng)度，而且使結(jié)構(gòu)尺寸相對(duì)減少，節(jié)省了材料，提高了經(jīng)濟(jì)效益，具有廣泛的前景及應(yīng)用價(jià)值。

[1] 江婷, 陳燕青. 多級(jí)雙圓弧齒輪傳動(dòng)的模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 26(3): 00-102.

[2] 陳殿華, 李玉光. 基于彈流潤滑與動(dòng)力學(xué)耦合的WN齒輪傳動(dòng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)[J]. 工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào), 2009, 16(5): 364-368.

[3] ANDRZEIOSYCZKA. An approach to multi-criterion optimization for structural design [C]//International Symposium on Optimum Structural Design, Arizona, 1991(10): 264 -269.

[4] 劉鶴松, 姜晶. 基于MATLAB算法的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 煤礦機(jī)械, 2004(11): 11-12.

[5] NOCEDALJ, WRIGHT S J. Numerical Optimization [M]. New York: Springer Verlag, 1999.

The Gear Parameters Optimization Design of WN Gear Strength

MU Xiao-kai, LIYu-guang*, CHEN Dian-hua, LICheng-chao

(College of Mechanical Engineering, Dalian University, Dalian 16622, China)

This paper according with the example of WN gear, with the minimum gear strength as the optimization design goal and to establish the corresponding intensity optimization mathematical model. The research is to optimize the design variables by using the method of sequence quadratic programming (SQP) in MATLAB optimization toolbox. Analyzing the influence about gear drive parameters on contact and bending fatigue strength. This Optimization method not only achieved the optimization design of WN gears drive, but also makes the WN gear device has light weight and compact size. It improved design efficiency and provided theoretical basis for CADdesign of WN gears drive.

WN gears; strength design; MATLAB; optimization design

TH132.416TP311.1

A

1008-2395(2012)03-0010-04

2012-05-06

穆曉凱（1986-），男，碩士研究生；陳殿華（1953-），男，教授，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)。

李玉光（1963-），男，教授，研究方向：機(jī)械設(shè)計(jì)。