基于GIS和DEM的水系三維分形計盒維數的計算

范 林 峰，胡 瑞 林，張 小 艷，王 珊 珊，袁 延 西

基于GIS和DEM的水系三維分形計盒維數的計算

范 林 峰1，胡 瑞 林1，張 小 艷1，王 珊 珊1，袁 延 西2

（1.中國科學院工程地質力學重點實驗室，中國科學院地質與地球物理研究所，北京 100029;2.西安科技大學地質與環境學院，陜西 西安 710054）

實現具有三維立體特征的河網水系分形維數的準確計算，是目前分形地貌學面臨的主要問題之一。該文依據三維分形計盒維數的基本原理，提出基于DEM和ArcGIS的水系三維分形計盒維數的計算方法，并以湖北省恩施市境內水系為例，驗證了方法的可靠性，說明三維計盒維數比二維計盒維數更能反映水系的空間分布特征和內部結構。

三維計盒維數;分形;DEM;GIS

分形理論逐漸成為處理復雜性系統的有力工具，在地貌學領域尤其是在水系研究中應用廣泛［1－10］。在眾多分形維數中，計盒維數由于簡單實用，得到了廣泛應用。何隆華［1］提出根據水系的計盒維數劃分流域地貌侵蝕發育階段的方法;鄒謹敞等［2］利用計盒維數法分析甘肅中部及鄰區水系的分形特征及其與滑坡分布的關系;盤小東等［3］計算了渾江斷裂帶水系的計盒維數，并分析了水系分形特征與構造活動性的關系;馬宗偉等［4］分析了長江中下游河流的分形特性，并在此基礎上分析了不同水系特征下洪水的特點;孫祝友等［5］應用GIS技術提取了萊州灣東岸河流信息，并運用計盒維數法對萊州灣東岸的黃水河和王河水系進行分形分析;韓杰等［6］在滑坡泥石流災害區劃中應用水系分形維數的空間變化表征水系空間形態特征的差異，從而反映云南省滑坡泥石流災害發生的程度。目前對水系分形維數的計算大多是在二維平面上進行的，然而，天然溝谷中的水系具有三維立體特征，要得到關于水系空間形態和內部結構真正客觀、科學的研究結論，必須對三維空間中的水系分形特征進行深入探討。本文根據分形理論，利用ArcGIS軟件的空間分析功能，計算水系的三維分形計盒維數。

1 利用DEM生成水系

河網水系分布圖是計算水系三維分形維數的必備資料之一，可以由數字高程模型（DEM）自動提取。目前最常用的提取方法是坡面流模擬法，依據水總是沿斜坡坡度最大方向流動的原理，首先確定DEM中每個柵格單元的水流方向，據此計算每個柵格單元的上游給水區，再選擇合適的集流閾值確定河網。由于該方法依據水文學匯流概念判別水流路徑，被認為是一種較好的方法;但仍存在一定問題，即DEM中不能存在局部凹陷和平坦的柵格單元，否則會使水流無法確定。因此，在提取河網水系之前，需要對DEM進行預處理，包括洼地的確定、填充和平地的抬升，再利用經過洼地填充處理的DEM源數據生成水系。上述操作過程可在ArcGIS軟件中實現，由于篇幅所限，在此不再贅述。

2 三維計盒維數的計算模型

目前研究中使用的計盒維數一般是二維計盒維數。計算時，首先用邊長為r的正方形網格覆蓋二維分形圖形，得到與圖形相交的非空網格數Nr，逐步改變網格的邊長r，得到一系列Nr值。二維計盒維數可用下式表示：

式中：Df為研究對象的計盒維數。

本文的研究對象是三維空間中的水系，不能用二維正方形網格覆蓋，而應采用三維小立方體對空間水系進行覆蓋，計算被水系占據的小立方體的數目（圖1）;不斷變換小立方體的邊長，得到一系列被水系占據的小立方體數目，進而求得水系的三維計盒維數。這里，核心的問題是如何計算被水系占據的小立方體的數目。

要解決這個問題，可首先在XOY二維平面上用不同邊長的正方形網格覆蓋二維水系分布圖，確定非空網格;再由水系高程，確定XOY平面內非空網格對應的水系在Z軸上占據的小立方體數目（圖2）。

圖1 立方體覆蓋示意Fig.1 Schematic diagram of cube covering

圖2 立方體個數計算Fig.2 Counting of covering cubes

XOY平面內每個非空網格對應的水系在Z軸上占據的小立方體數目可由下式計算：

式中：Ni，j為用邊長ri的正方形網格覆蓋時，第j個非空網格對應的水系在Z軸上占據的立方體數目;ri為小正方形網格（即小立方體）的邊長;max（hj）、min（hj）分別為第j個非空網格對應的水系的最大、最小高程;INT為向下取整運算。

以邊長為ri的小立方體對水系進行覆蓋時，被水系占據的小立方體的總數Ni為：

3 三維計盒維數的計算過程

基于上述計算模型，可以根據研究區的DEM和水系分布圖，利用ArcGIS的空間分析功能，計算水系的三維計盒維數。計算步驟如下：1）在XOY平面內生成邊長為ri的Fishnet網格，并將其由線狀要素轉化為面狀要素，生成面域網格;2）將面域網格與二維水系分布圖求交，確定二維平面上被水系占據的非空網格;3）利用ArcGIS的Zonal Statistics功能，求出每個非空網格內水系的最大高程max（hj）和最小高程 min（hj）;4）由式（2）和式（3）計算用邊長為ri的小立方體對三維水系進行覆蓋時，被水系占據的小立方體數目Ni;5）改變Fishnet網格邊長ri，重復上述步驟，得到一系列Ni值;6）將Ni和ri值繪入雙對數坐標系，由式（4）求得研究區水系的三維計盒維數。

4 計算實例

本文以湖北省恩施市境內的清江水系（圖3、圖4）為例，按照上述模型計算出水系的二維和三維分形計盒維數（圖5、表1）分別為1.18和1.26。

圖3 恩施二維水系分布Fig.3 2D river system in Enshi

圖4 恩施三維水系分布 Fig.4 3D river system in Enshi

圖5 水系二維和三維計盒維數計算結果 Fig.5 Ln-ln plot of Ni and ri for 3D and 2D fractal dimension

表1 水系二維和三維計盒維數計算Table 1 Calculation of 3D and 2D fractal dimension of river system

5 結果分析與討論

（1）歐式幾何中，直線的維數是1，三維實體的維數是3。三維空間中的水系可以看做是空間曲線段的集合，其計盒維數應該在1～3之間。本文的計算結果與上述分析一致，且與文獻［11］的結果相近，因此可以認為本文提出的方法是可行的。

（2）從表1和圖5可以看出，三維空間內lnNi值大于二維平面的lnNi值，且二者的差值隨著ri的增加有逐漸減小的趨勢。當ri≥3 200 m時，二者的差值為0，即覆蓋水系所需的小立方體數目與正方形網格數目相等。這是由于當非空正方形網格內三維水系的最大高程和最小高程接近到一定程度時，在Z軸上僅需要1個立方體即可將此網格對應的三維水系覆蓋（式（2））。由此可以看出，對于地形起伏較小的地區，水系的三維計盒維數與二維計盒維數將十分接近，三維水系分形維數更適用于地形起伏較大的地區。

（3）利用本文方法計算水系的三維分形維數受原始數據的精度影響較大。由于本文采用的DEM分辨率是90 m，因此，本文將小立方體的最小尺寸設置為100 m。當DEM的數據精度提高時，應該采用更小尺寸的立方體對研究區的水系進行覆蓋，從而獲得更為精確可靠的計算結果。

（4）對水系的分形研究大多采用計盒維數法，主要是因為該方法簡單方便。但是，該方法僅考慮被水系占據的正方形網格和小立方體數目，而沒有考慮每個正方形網格和小立方體中水系的條數或長度，由此計算出的分形維數不能完全反映空間水系的分形結構特征。信息維由于考慮了每個正方形網格和小立方體中水系的條數，因而能彌補這方面的不足。此外，還有一些學者認為空間水系具有多重分形的特征。多重分形分析比單分形分析（如計盒維數、信息維）更能真實地反映空間水系的復雜性和本質特征，所獲得的標度指數和多重分維可以從整體上反映出水系的多重分形結構特征，而奇異指數和分維譜函數則能反映出水系多重分形的局部特征。因此，需進一步研究空間三維水系的多重分形特征。

［1］何隆華.水系的分形維數及其含義［J］.地理科學，1996，12（2）：124－128.

［2］鄒謹敞，邵順妹.甘肅中部及鄰區水系分形研究結果與滑坡分布的關系［J］.地震研究，1994，17（4）：383－388.

［3］盤曉東，康力.渾江斷裂帶及水系的分形特征和構造活動性研究［J］.東北地震研究，2002，18（1）：7－15.

［4］馬宗偉，許有鵬，李嘉峻.河流形態的分維及與洪水關系的探

討——以長江中下游為例［J］.水科學進展，2005，16（4）：530－534.［5］孫祝友，杜國云，李德一，等.基于GIS技術的萊州灣東岸河流

分形研究［J］.測繪科學，2007，32（3）：120－121.

［6］韓杰，陸桂華，李海濤.水系分維在滑坡泥石流災害區劃中的應用［J］.自然災害學報，2009，18（4）：63－71.

［7］朱俊江，詹文歡，唐誠，等.水系的分形特征與紅河斷裂帶活動性關系初探［J］.華南地震，2002，22（1）：1－7.

［8］連建發，劉傳正，高尚嶸.三峽庫區溝谷水系的分形幾何特征研究［J］.勘察科學技術，2006（6）：25－28.

［9］馬宗偉，許有鵬，鐘善錦.水系分形特征對流域徑流特性的影響——以贛江中上游流域為例［J］.長江流域資源與環境，2009，18（2）：163－169.

［10］杜尚海，蘇小四，朱琳.松花江流域地表水系分形維及其影響因素分析［J］.水文，2009，29（5）：30－35.

［11］朱曉華.地理空間信息的分形與分維［M］.北京：測繪出版社，

2007.77－84.

Calculation of 3D Box Dimension of River System Based on GIS and DEM

FAN Lin－feng1，HU Rui－lin1，ZHANG Xiao－yan1，WANG Shan－shan1，YUAN Yan－xi2
（1.KeyLaboratoryofEngineeringGeomechanics，InstituteofGeologyandGeophysics，CAS，Beijing100029;2.CollegeofGeologyandEnvironment，Xi′anUniversityofScienceandTechnology，Xi′an710054，China）

Calculation of the fractal dimension of 3D river system is one of the major problems in fractal geomorphology.Based on the principle of box counting method，a method to calculate the 3D fractal dimension of river system based on ArcGIS and DEM is proposed.Enshi was used as an example to verify the reliability of this method.The results indicate that 3D box dimension can reflect more information about the spatial distribution and inner structure of river system than 2D box dimension.

3D box dimension;fractal theory;DEM;GIS

P 64;P208

A

1672－0504（2012）06－0028－03

2011－12- 11;

2012－03－29

國家科技支撐計劃課題“重大滑坡、泥石流災害綜合風險評價技術”（2008BAK50B04－3）;中國科學院知識創新工程項目“地震地質災害的內外動力耦合作用機制”（KZCX2－YW－Q03－2）;湖北省交通運輸廳科技項目“宜巴高速公路巖溶隱患辨識與風險防范研究”

范林峰（1988－），男，碩士研究生，主要從事地質災害風險評價方面的研究。E－mail：fanlinfeng1988＠163.com