源自一道課本習題的探究、拓展

倡導積極主動、勇于探索的學習方式是新課程的基本理念.高中數學課程設立的“數學探究”“數學建?！钡葘W習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造了有利條件.在教學中努力“使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程，以激發學生的學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養成獨立思考、積極探索的習慣”成為教師的基本職責.在數學教學過程中，教師有意識地選擇典型問題，指導和引領學生進行探究拓展是培養學生實踐能力、發展創新意識的重要途徑.

就語義而言，據“辭?！钡慕忉專把芯俊敝浮坝每茖W的方法探求事物的本質和規律”，“探究”則指“深入探討，反復研究”.就數學問題的探究而言，是指對問題的規律性進行研究、對問題的條件與結論依存關系進行研究、對問題的解決策略進行研究，這些都是拓展性學習，有助于形成數學的知識體系、學習方式和思維能力.

眾所周知，教材中的習題是編者精心挑選，再三醞釀后挑中的，具有典型性、示范性和針對性，既可以幫助學生理解基礎知識、運用基本技能，又可以幫助學生掌握數學思想方法，進行思維訓練.蘇教版新教材在習題設置方面與舊教材相比有很大改進，涉及知識面很廣，可供不同層次的學生選用，為教學提供了很好的素材.為了更好發揮教材習題的功能，教師首先要研究習題的內涵，挖掘課本習題類型，使習題的使用更具有針對性，更符合學生的認知特點，探索問題引申途徑，以便更好地發展學生的數學思維.

通過上述思考解答，相信一定能夠促進求曲線方程基本技能的掌握和思維的嚴謹.

二、改變構成命題的基本前提、條件假設和要求是探究的重要方法

數學命題一般都是包含前提、條件假設和基本要求幾個組成部分，通過對它們的變更探究，獲得對問題的本質認識，實現數學知識體系的豐富、完善，這是數學學習的拓展.通?？梢圆捎脝我蛩馗淖兊姆绞?，尋求新的認知.

本題中，構成命題的基本前提是給定的“兩個定點”，假設的條件是“動點與定點的距離”，要求是“距離之比”.探究就是對基本前提和約定假設與要求可以采用單因素改變的方式，尋求新的認識.

基于幾何中點與線的相似性，兩點間距離和兩點連線斜率可比性，四則運算的協調與統一，對本題進行如下的教學探究安排，以求獲得比較全面的深化.

4.把“距離之比”改為“距離之和或距離之差或距離之積”

依然可以指導學生利用幾何畫板功能，進行軌跡形態的探索，教師指導當距離之和（差、積）在滿足一定條件下，對應的軌跡為橢圓、雙曲線和卵形線.

可以引導學生利用幾何畫板功能探求軌跡，教師要知道當符合一定條件下，對應的軌跡為橢圓、雙曲線和卵形線.

上述教學實踐，是教學過程中的一部分實錄，雖是片段，卻能完整地體現教學設計.作為一道習題的探究拓展，用了3個教學課時，不知是否妥帖.

當然，在上述實踐的基礎上，可以根據學習者的實際，采用多因素改變法，獲得更加寬闊的視野，這也是歸因分析中的重要智慧.如，我們可以探求動點與兩定點連線斜率的乘積為定值時的軌跡，并且由于斜率的取值可以擴大到實數，因此解題就呈現豐富多樣性.也可以探求與定點連線的斜率與定直線距離的各種運算制約下的軌跡等.

三、習題的探究拓展教學應當有明確的目標，并且適可而止

1.全面理解數學教學的本質，其根本任務是發展學生的數學智慧，盡管這樣的探究拓展學習需要占用一定的教學課時，在教學中如何處理教學進度和學習能力的發展需要教師進行認真思考和研究.就個人的教學體會，適當地安排這樣的教學實踐活動，對學習者的自主學習習慣和學習能力的培養是非常重要的途徑.

2.教學中的探究拓展性學習應當充分尊重學習者的基礎，切忌盲目.在本題的探究拓展中，尤其是2.4的內容，本人僅利用幾何畫板作了必要的介紹，因為方程與曲線的關系以及方程推導還是有一定的技術難度的.探究拓展時為了鞏固技能，形成知識體系，不能因為難度而影響學習者自主研究的積極性和興趣.

3.培養學生的探究拓展習慣和能力需要教師的不斷努力.如果教師對問題的認識和處理的價值追求正確深刻，學生一定會努力的.

（作者單位 南京財經學校）